Dérivée de quotient et produit

Énoncé

Calculer la dérivée de chaque fonction : a) f(x) = (2x - 3)(x^2 + 1) b) g(x) = x^2 - 1{x + 2} pour x -2

Indice : a) (uv)' = u'v + uv'. b) (u/v)' = (u'v - uv') / v^2.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Les deux formules du chapitre, l'une après l'autre. Le premier réflexe, avant tout calcul, est de reconnaître la structure : un produit ou un quotient ? C'est elle qui décide de la formule, et se tromper de formule est plus coûteux que se tromper dans un calcul. Les deux formules : [formule] Même début, u'v. Ensuite : un plus pour le produit, un moins et un dénominateur pour le quotient.
2. Étape 2 : a) C'est un produit. On pose : u = 2x - 3, u' = 2 ; v = x^2 + 1, v' = 2x. Puis on applique : f'(x) = u'v + uv' = 2(x^2 + 1) + (2x - 3)(2x).
3. Étape 3 : On développe les deux termes : - 2(x^2 + 1) = 2x^2 + 2 ; - (2x - 3)(2x) = 4x^2 - 6x. Et on regroupe : [formule] Contrôle du degré : f est de degré 3, f' est de degré 2 ✓

   f'(x) = 6x^2 - 6x + 2

4. Étape 4 : b) C'est un quotient. On pose : u = x^2 - 1, u' = 2x ; v = x + 2, v' = 1. Puis on applique, en écrivant la formule complète : [formule]
5. Étape 5 : On développe le numérateur, en distribuant le signe moins sur les deux termes de (x^2 - 1) : 2x(x+2) = 2x^2 + 4x et -(x^2 - 1) = -x^2 + 1. D'où : 2x^2 + 4x - x^2 + 1 = x^2 + 4x + 1. [formule] On laisse le dénominateur factorisé : c'est sous cette forme qu'on lira son signe si l'exercice se poursuit.

   g'(x) = x^2 + 4x + 1{(x+2)^2}

6. Étape 6 : L'erreur classique : Le signe moins qui ne se distribue pas. En b), écrire 2x^2 + 4x - x^2 - 1, ce qui donnerait x^2 + 4x - 1. Le moins porte sur toute la parenthèse (x^2 - 1), donc le -1 devient +1. C'est de loin l'erreur la plus fréquente sur les quotients, et elle est difficile à repérer après coup parce que le résultat reste plausible. La parade : écrire explicitement la ligne -(x^2 - 1) = -x^2 + 1 avant de regrouper. Appliquer la formule du produit à un quotient, ou l'inverse. Regarde la structure avant de choisir : y a-t-il une barre de fraction ? À retenir : Les deux formules commencent pareil — u'v — ce qui aide, mais rend aussi la confusion possible. Le repère : le quotient a un dénominateur et un moins ; le produit n'a ni l'un ni l'autre. Et en b), on aurait pu être tenté de simplifier x^2-1{x+2} avant de dériver. Attention : x^2 - 1 = (x-1)(x+1), qui ne contient pas (x+2) — la fraction ne se simplifie pas. Vérifie toujours qu'une simplification est réellement possible avant de la faire.