Équation de tangente

Énoncé

Soit f(x) = -x^2 + 4x - 1. a) Déterminer l'équation de la tangente T_1 à la courbe de f au point d'abscisse 1. b) Déterminer l'équation de la tangente T_3 au point d'abscisse 3.

Indice : Tangente en a : y = f'(a)(x-a)+f(a). Calcule d'abord f'(x).

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Deux tangentes sur la même courbe : la fonction dérivée ne se calcule donc qu'une seule fois, et on l'évalue ensuite en deux points différents. Commencer par f'(x) économise la moitié du travail. Cet exercice a un second intérêt, qu'il faut voir venir : la parabole est symétrique, et 1 et 3 sont symétriques par rapport à son sommet x = 2. Les deux tangentes auront donc des pentes opposées — un contrôle gratuit sur le résultat. Équation de la tangente : [formule] Une droite de pente f'(a) passant par le point (a\,;f(a)).
2. Étape 2 : On calcule la fonction dérivée, une fois pour les deux questions : f'(x) = -2x + 4.

   f'(x) = -2x + 4

3. Étape 3 : a) En a = 1. Ordonnée du point de contact : f(1) = -1 + 4 - 1 = 2. Pente : f'(1) = -2 1 + 4 = 2. D'où T_1 : y = 2(x - 1) + 2 = 2x - 2 + 2 = 2x. Contrôle : en x = 1, la droite donne y = 2, ce qui est bien f(1) ✓

   T_1 : y = 2x

4. Étape 4 : b) En a = 3. Ordonnée : f(3) = -9 + 12 - 1 = 2. Pente : f'(3) = -6 + 4 = -2. D'où T_3 : y = -2(x - 3) + 2 = -2x + 6 + 2 = -2x + 8. Contrôle : en x = 3, la droite donne -6 + 8 = 2, ce qui est bien f(3) ✓

   T_3 : y = -2x + 8

5. Étape 5 : Ce que les deux résultats disent ensemble. Les pentes sont 2 et -2 : opposées, comme annoncé. Et les deux points de contact ont la même ordonnée f(1) = f(3) = 2. Ce n'est pas un hasard. Le sommet de la parabole est en = -4{2 (-1)} = 2, et les abscisses 1 et 3 sont symétriques par rapport à 2. La courbe étant symétrique par rapport à la droite verticale x = 2, elle y prend la même valeur et y monte d'un côté exactement autant qu'elle descend de l'autre.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Recalculer f' pour chaque question, ou pire, dériver une fois puis oublier de réévaluer : utiliser f'(1) = 2 comme pente en x = 3 également. La fonction dérivée est la même, mais le nombre dérivé change avec le point — c'est même tout son intérêt, il mesure la pente locale. Se tromper de signe en développant -2(x - 3) : écrire -2x - 6 au lieu de -2x + 6. Le produit de deux nombres négatifs est positif. À retenir : Sur une parabole, deux points symétriques par rapport au sommet ont des tangentes de pentes opposées. C'est un contrôle gratuit : si tu trouves deux pentes égales, ou deux pentes sans rapport, reprends le calcul. Et sur toute courbe, le contrôle universel reste le même : remplace x par a dans ton équation de tangente, tu dois retomber sur f(a).