Calculer des dérivées de polynômes

Énoncé

Calculer la dérivée de chaque fonction : a) f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 7 b) g(x) = -x^5 + 3x^4 - x + 2 c) h(x) = 1{2}x^6 - 5x^3 + 4x

Indice : Applique la formule (x^n)' = nx^{n-1} terme à terme et utilise la linéarité.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Même méthode que pour les polynômes courts, mais avec plus de termes — donc plus d'occasions de se tromper. Ces trois fonctions contiennent précisément les cas où l'on trébuche : un terme en x sans coefficient visible, un terme de tête au coefficient -1, et un coefficient fractionnaire. La règle, et les trois cas : [formule] - terme en x^n : le coefficient est multiplié par n, l'exposant perd 1 ; - terme en x (c'est-à-dire x^1) : il devient son coefficient ; - constante : elle disparaît.
2. Étape 2 : a) f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 7. Terme par terme : - 4x^3 4 3 x^2 = 12x^2 ; - -2x^2 -2 2 x = -4x ; - +x 1 — le coefficient est 1, même s'il n'est pas écrit ; - -7 0. [formule]

   f'(x) = 12x^2 - 4x + 1

3. Étape 3 : b) g(x) = -x^5 + 3x^4 - x + 2. - -x^5 : le coefficient est -1, donc -1 5 x^4 = -5x^4 ; - 3x^4 3 4 x^3 = 12x^3 ; - -x -1 ; - +2 0. [formule]

   g'(x) = -5x^4 + 12x^3 - 1

4. Étape 4 : c) h(x) = 1{2}x^6 - 5x^3 + 4x. - 1{2}x^6 1{2} 6 x^5 = 3x^5 — le 6 simplifie le 1{2} ; - -5x^3 -5 3 x^2 = -15x^2 ; - 4x 4. [formule]

   h'(x) = 3x^5 - 15x^2 + 4

5. Étape 5 : L'erreur classique : Recopier le terme en x au lieu de le dériver. En a), écrire f'(x) = 12x^2 - 4x + x. Le terme x vaut 1 x^1 : sa dérivée est 1, et le x disparaît. C'est l'erreur la plus fréquente de tout le chapitre, parce que le coefficient 1 n'est pas écrit et qu'on oublie qu'il est là. Perdre le signe du terme de tête. En b), écrire 5x^4 au lieu de -5x^4. Le coefficient de x^5 est -1, pas 1. Reculer devant la fraction. En c), laisser 6{2}x^5 sans simplifier n'est pas faux, mais laisser 1{2}x^5 l'est : le 6 doit bien multiplier le 1{2}. À retenir : Quand un polynôme a plus de trois termes, écris la ligne intermédiaire — celle où l'on voit 4 3 x^2 avant de la réduire en 12x^2. Elle coûte dix secondes et supprime la quasi-totalité des fautes. Et refais toujours les deux contrôles : le degré perd exactement 1, et le nombre de termes diminue de 1 si et seulement si il y avait une constante.