Problème d'optimisation avec dérivée
Énoncé
On considère f(x) = -2x^3 + 9x^2 - 12x + 7 sur [0 ; 3].
a) Calculer f'(x) et factoriser.
b) Dresser le tableau de variations de f sur [0 ; 3].
c) Déterminer le maximum et le minimum de f sur [0 ; 3].
Indice : Calcule f'(x), résous f'(x) = 0, puis évalue f aux bornes et aux points critiques.
Correction
- Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Même structure que l'exercice précédent, mais avec une difficulté de plus : la dérivée a deux racines dans l'intervalle, donc la fonction change deux fois de sens. Il y aura quatre candidats à comparer, pas trois.
Et un piège de signe attend à la factorisation : le coefficient dominant de f' sera négatif, ce qui inverse le tableau de signes par rapport à tout ce qu'on a fait jusqu'ici.
Extremums sur un segment :
Les extremums de f sur [a\,;b] sont à chercher parmi : les points où f' s'annule, et les deux bornes a et b.
La méthode :
1. Dériver et factoriser.
2. Trouver les racines, et ne garder que celles de l'intervalle.
3. Dresser le tableau de signes de f' — attention au signe du coefficient dominant.
4. Calculer f en tous les candidats, et comparer.
- Étape 2 : a) On dérive :
f'(x) = -6x^2 + 18x - 12.
On met -6 en facteur — en prenant garde aux signes qui changent dans la parenthèse :
f'(x) = -6(x^2 - 3x + 2).
Le trinôme x^2 - 3x + 2 a pour discriminant = 9 - 8 = 1, donc = 1 et ses racines sont 3-1{2} = 1 et 3+1{2} = 2.
[formule]
Contrôle en développant : -6(x^2 - 2x - x + 2) = -6(x^2 - 3x + 2) = -6x^2 + 18x - 12 ✓
f'(x) = -6(x-1)(x-2)
- Étape 3 : b) Les racines sont 1 et 2, toutes deux dans [0\,;3].
⚠️ Le coefficient dominant de f' vaut -6 < 0 : le trinôme est donc négatif à l'extérieur de ses racines et positif entre elles — l'inverse du cas habituel.
| x | 0 | | 1 | | 2 | | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | | - | 0 | + | 0 | - | |
| f | 7 | décroît | 2 | croît | 3 | décroît | -2 |
Contrôle : f'(0) = -12 < 0, f'(1{,}5) = -6(0{,}5)(-0{,}5) = 1{,}5 > 0, f'(3) = -54 + 54 - 12 = -12 < 0 ✓
- Étape 4 : c) On calcule f aux quatre candidats : les deux points critiques et les deux bornes.
f(0) = 7 ;
f(1) = -2 + 9 - 12 + 7 = 2 ;
f(2) = -16 + 36 - 24 + 7 = 3 ;
f(3) = -54 + 81 - 36 + 7 = -2.
On compare ces quatre nombres : la plus grande valeur est 7, la plus petite est -2.
Maximum : 7, atteint en x = 0 — une borne.
Minimum : -2, atteint en x = 3 — l'autre borne.
f = 7 en 0, f = -2 en 3
- Étape 5 : Ce que ce résultat a de remarquable. Les deux extremums sont aux bornes, et aucun n'est en un point critique. Pourtant f' s'annule deux fois à l'intérieur de l'intervalle.
C'est parfaitement cohérent avec le tableau : en x = 1 la fonction atteint un minimum local (2), et en x = 2 un maximum local (3) — mais ces valeurs sont encadrées par f(0) = 7 et f(3) = -2, qui sont plus extrêmes.
Cet exercice existe pour montrer exactement cela : un point critique n'est pas automatiquement un extremum global.
- Étape 6 : L'erreur classique :
Se tromper de signe en factorisant par -6. Écrire f'(x) = -6(x^2 - 3x - 2) en oubliant que -12 (-6) = +2. Le contrôle par développement l'attrape immédiatement.
Garder le tableau de signes du cas positif. Avec un coefficient dominant négatif, tout est inversé : négatif à l'extérieur, positif entre les racines. Si on l'oublie, la fonction est annoncée croissante là où elle décroît, et le maximum et le minimum sont échangés.
Ne comparer que les points critiques et répondre « maximum 3, minimum 2 ». Les deux bornes donnent 7 et -2, qui sont plus extrêmes — et ce sont elles la réponse.
À retenir :
Deux réflexes qui rendent ce type d'exercice sûr.
Le signe du coefficient dominant de f' décide de tout le tableau. Écris-le explicitement avant de remplir les signes, et ne récite pas la règle de mémoire.
Dresse la liste complète des candidats avant de calculer. Ici : 0, 1, 2, 3. Quatre valeurs de f, une comparaison, et la réponse est établie sans risque d'oubli.