Problème d'optimisation avec dérivée

Énoncé

On considère f(x) = -2x^3 + 9x^2 - 12x + 7 sur [0 ; 3]. a) Calculer f'(x) et factoriser. b) Dresser le tableau de variations de f sur [0 ; 3]. c) Déterminer le maximum et le minimum de f sur [0 ; 3].

Indice : Calcule f'(x), résous f'(x) = 0, puis évalue f aux bornes et aux points critiques.

Correction

1. Étape 1 : **a)** f'(x) = -6x^2 + 18x - 12 = -6(x^2 - 3x + 2) = -6(x-1)(x-2).
2. Étape 2 : **b)** f'(x) = 0 x = 1 ou x = 2. f'(x) < 0 sur ]0;1[, f'(x) > 0 sur ]1;2[, f'(x) < 0 sur ]2;3[.
3. Étape 3 : f décroissante sur [0;1], croissante sur [1;2], décroissante sur [2;3].
4. Étape 4 : **c)** f(0) = 7, f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = -2.

   Maximum = 7 en x = 0 ; Minimum = -2 en x = 3