Étude de variations
Énoncé
Soit f(x) = x^3 - 12x + 5.
a) Calculer f'(x).
b) Étudier le signe de f'(x) et en déduire le tableau de variations de f.
Indice : Factorise f'(x) pour trouver ses racines.
Correction
- Étape 1 : Ce qu'il faut voir. C'est le grand résultat du chapitre, celui pour lequel tout le reste a été appris : le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction.
Ici f' sera du second degré : on retrouve tout le savoir-faire du chapitre précédent.
Signe de la dérivée et variations :
Sur un intervalle :
- si f'(x) > 0, alors f est strictement croissante ;
- si f'(x) < 0, alors f est strictement décroissante ;
- si f' s'annule en changeant de signe, f y admet un extremum local.
La méthode, dans l'ordre :
1. Calculer f'(x).
2. La factoriser — c'est ce qui rend son signe lisible.
3. Dresser le tableau de signes de f'.
4. En déduire les variations de f, et calculer les valeurs des extremums.
- Étape 2 : a) On dérive terme à terme :
f'(x) = 3x^2 - 12.
On la factorise sans attendre, car c'est sous forme factorisée que son signe se lira. Le 3 se met en facteur, et il reste une différence de deux carrés :
f'(x) = 3(x^2 - 4) = 3(x - 2)(x + 2).
f'(x) = 3(x-2)(x+2)
- Étape 3 : b) La forme factorisée donne les racines immédiatement :
f'(x) = 0 x = 2 ou x = -2.
f' est un trinôme de coefficient dominant 3 > 0 : il est donc positif à l'extérieur de ses racines et négatif entre elles.
| x | - | | -2 | | 2 | | + |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | | + | 0 | - | 0 | + | |
| f | | croît | 21 | décroît | -11 | croît | |
Contrôle sur une valeur par zone : f'(-3) = 27 - 12 = 15 > 0, f'(0) = -12 < 0, f'(3) = 27 - 12 = 15 > 0 ✓
- Étape 4 : On calcule les valeurs de f aux deux points où la dérivée s'annule :
f(-2) = (-2)^3 - 12 (-2) + 5 = -8 + 24 + 5 = 21.
f(2) = 8 - 24 + 5 = -11.
f(-2) = 21, f(2) = -11
- Étape 5 : Conclusion.
f est croissante sur ]-\,;-2], décroissante sur [-2\,;2], puis croissante sur [2\,;+[.
Elle admet un maximum local valant 21 en x = -2, et un minimum local valant -11 en x = 2.
⚠️ Le mot local compte. Ce ne sont pas les valeurs extrêmes de f sur R : la fonction croît ensuite sans limite, donc elle finit par dépasser 21. Le maximum n'est « le plus grand » que dans un voisinage de -2.
- Étape 6 : L'erreur classique :
Étudier le signe de f au lieu de celui de f'. Ce sont deux questions différentes : le signe de f dit si la courbe est au-dessus ou au-dessous de l'axe, le signe de f' dit si elle monte ou descend. Ici c'est bien f' qu'il faut étudier.
Annoncer un maximum global. Écrire « le maximum de f est 21 » est faux : f(10) = 1000 - 120 + 5 = 885, bien plus grand. L'extremum est local.
Oublier de calculer les valeurs. Un tableau de variations où figurent seulement des flèches, sans f(-2) ni f(2), est incomplet — et ce sont précisément ces nombres qui sont demandés ensuite pour discuter des solutions d'une équation.
À retenir :
Le réflexe qui structure tout le chapitre : factorise f' dès que tu l'as calculée. Une dérivée factorisée livre ses racines et son signe sans effort ; une dérivée développée oblige à repasser par le discriminant.
Et souviens-toi de ce que le tableau raconte : ici la courbe monte, se retourne en (-2\,;21), redescend jusqu'à (2\,;-11), puis remonte définitivement. Si tu peux dessiner cette allure de tête, c'est que tu as compris le tableau.