Dérivée d'un quotient

Énoncé

Calculer la dérivée de f(x) = 2x + 1{x - 3} pour x 3.

Indice : (u/v)' = (u'v - uv')/v^2.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. La formule du quotient ressemble à celle du produit, à deux différences près — et ce sont exactement ces deux différences que l'on oublie : le numérateur porte un moins au lieu d'un plus, et il y a un dénominateur v^2. Le moins n'est pas décoratif : il rend l'ordre des termes obligatoire. Dans un produit, u'v + uv' et uv' + u'v sont la même chose ; dans un quotient, inverser l'ordre donne l'opposé du bon résultat. Dérivée d'un quotient : [formule] On dérive d'abord le haut : le numérateur commence par u'v. Astuce : Un moyen de retenir l'ordre : la formule commence comme celle du produit, u'v, et c'est le second terme qui est retranché. « On dérive le haut d'abord, et on soustrait ensuite. »
2. Étape 2 : On identifie et on dérive : u = 2x + 1 donc u' = 2 ; v = x - 3 donc v' = 1.

   u' = 2, v' = 1

3. Étape 3 : On écrit la formule en entier, puis on remplace : [formule] On développe le numérateur, en faisant très attention au signe moins qui porte sur toute la parenthèse : 2(x - 3) = 2x - 6 et -(2x + 1) = -2x - 1. D'où : 2x - 6 - 2x - 1 = -7.
4. Étape 4 : Les termes en x se sont annulés, il ne reste qu'une constante : [formule] Ce que ce résultat dit. Le dénominateur (x-3)^2 est strictement positif pour x 3, et le numérateur vaut -7 < 0 : la dérivée est donc négative partout. La fonction f est décroissante sur ]-\,;3[ et sur ]3\,;+[. ⚠️ On ne dit pas « décroissante sur R privé de 3 » : la fonction n'est pas définie en 3, et son comportement de part et d'autre est séparé. On énonce la décroissance sur chaque intervalle.

   f'(x) = -7{(x-3)^2} < 0

5. Étape 5 : L'erreur classique : Inverser l'ordre au numérateur et écrire uv' - u'v{v^2}. On obtiendrait ici +7{(x-3)^2} — l'exact opposé — et l'on conclurait que f est croissante, c'est-à-dire le contraire de la vérité. Le contrôle qui tranche : teste la formule sur un cas que tu connais. Avec u = 1 et v = x, la bonne formule donne 0 x - 1 1{x^2} = -1{x^2}, qui est bien la dérivée de 1{x}. La formule inversée donnerait +1{x^2}, donc elle est fausse. Oublier que le moins porte sur toute la parenthèse : écrire 2x - 6 - 2x + 1 = -5. Il faut distribuer le signe sur les deux termes de (2x + 1). Oublier le carré au dénominateur et écrire -7{x - 3}. À retenir : Ne développe jamais le dénominateur. Garder (x-3)^2 plutôt qu'écrire x^2 - 6x + 9 a deux avantages : c'est plus court, et surtout le signe se lit d'un coup d'œil — un carré est toujours positif, donc le signe de f' est celui du numérateur seul. C'est ce qui rendra l'étude des variations immédiate. Et sois attentif quand les termes en x s'annulent au numérateur : ce n'est pas une erreur, c'est fréquent avec un quotient de deux fonctions affines, et c'est même ce qui rend le signe si facile à déterminer.