Dérivée d'un produit

Énoncé

Calculer la dérivée de f(x) = (3x - 1)(x^2 + 2).

Indice : (uv)' = u'v + uv'.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. C'est le point le plus contre-intuitif du chapitre, et il vaut la peine de comprendre pourquoi plutôt que de subir la formule. Un produit uv varie pour deux raisons à la fois : parce que u change, et parce que v change. La formule additionne ces deux contributions — d'où deux termes, et non un. Dérivée d'un produit : [formule] Deux termes : dans chacun, un seul des deux facteurs est dérivé, l'autre est recopié tel quel. La méthode qui évite les fautes : 1. Poser u et v au brouillon, sur deux lignes séparées. 2. Calculer u' et v' juste en dessous. 3. Écrire la formule en entier avant de remplacer. 4. Développer et réduire.
2. Étape 2 : On identifie les deux facteurs et on les dérive séparément : u = 3x - 1 donc u' = 3 ; v = x^2 + 2 donc v' = 2x.

   u' = 3, v' = 2x

3. Étape 3 : On écrit la formule complète, puis on remplace : f'(x) = u'v + uv' = 3 (x^2 + 2) + (3x - 1) 2x. On développe chaque terme : - 3(x^2 + 2) = 3x^2 + 6 ; - (3x - 1)(2x) = 6x^2 - 2x.

   f'(x) = 3(x^2+2) + (3x-1)(2x)

4. Étape 4 : On additionne et on regroupe les termes semblables : f'(x) = 3x^2 + 6 + 6x^2 - 2x = 9x^2 - 2x + 6. [formule]

   f'(x) = 9x^2 - 2x + 6

5. Étape 5 : Vérification par une autre voie. On peut développer f avant de dériver : f(x) = (3x-1)(x^2+2) = 3x^3 + 6x - x^2 - 2 = 3x^3 - x^2 + 6x - 2. En dérivant ce polynôme terme à terme : f'(x) = 9x^2 - 2x + 6 ✓ Les deux méthodes concordent. Ici la seconde était même plus rapide — mais elle ne le sera plus dès que les facteurs contiendront des racines ou des quotients, et c'est pour cela qu'on apprend la formule du produit.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Ne dériver qu'un seul facteur et écrire f'(x) = 3 2x = 6x, ou f'(x) = 3(x^2 + 2). La formule a deux termes ; il en manque toujours un dans ces réponses. Le contrôle qui l'attrape immédiatement : le degré. f est de degré 3 (un facteur de degré 1 fois un facteur de degré 2), donc f' doit être de degré 2. Une réponse en 6x est de degré 1 : elle est forcément fausse. Oublier de distribuer en développant 3(x^2 + 2) : écrire 3x^2 + 2 au lieu de 3x^2 + 6. À retenir : Écris toujours la formule en entier — u'v + uv' — avant d'y mettre tes expressions. C'est en écrivant directement les valeurs qu'on oublie un terme. Et quand les deux facteurs sont des polynômes, tu disposes d'une vérification indépendante : développe f puis dérive, et compare. Deux chemins qui donnent le même résultat, c'est une preuve bien plus solide qu'une relecture.