Dérivée avec racine carrée et inverse

Énoncé

Calculer la dérivée de : a) f(x) = 5x + 3 pour x > 0 b) g(x) = 4{x} - x^2 pour x 0

Indice : (x)' = 1{2x} et (1/x)' = -1/x^2.

Correction

  1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Ces deux fonctions ne sont pas des polynômes, mais elles se dérivent exactement de la même façon : terme par terme, avec la formule qui convient à chacun. Il n'y a donc rien de nouveau côté méthode ; ce qui change, ce sont deux formules à connaître par cœur. Deux dérivées usuelles : [formule] Astuce : Aucune des deux n'est à apprendre bêtement : elles découlent de (x^n)' = nx^{n-1}. Pour la racine, x = x^{1/2}, donc sa dérivée est 1{2}x^{-1/2} = 1{2x} — le 2 vient de l'exposant 1{2} qui descend en facteur. Pour l'inverse, 1{x} = x^{-1}, donc sa dérivée est -1 x^{-2} = -1{x^2} — le signe moins vient de l'exposant -1 qui descend.
  2. Étape 2 : a) f(x) = 5x + 3. Le coefficient 5 se conserve tel quel (linéarité), et la constante 3 disparaît : f'(x) = 5 1{2x} + 0 = 5{2x}. Contrôle de cohérence : pour x > 0, cette expression est positive. C'est ce qu'on attend, puisque x est une fonction croissante — un résultat négatif aurait signalé une faute.

    f'(x) = 5{2x}

  3. Étape 3 : b) g(x) = 4{x} - x^2. On traite les deux termes séparément. Le premier s'écrit 4 1{x}, donc sa dérivée est 4 (-1{x^2}) = -4{x^2}. Le second, -x^2, donne -2x. [formule]

    g'(x) = -4{x^2} - 2x

  4. Étape 4 : L'erreur classique : Oublier le signe moins de l'inverse et écrire g'(x) = 4{x^2} - 2x. Le contrôle est visuel et imparable : la courbe de 1{x} descend sur chacune de ses deux branches, donc sa dérivée est négative partout. Un résultat positif est forcément faux. Oublier le carré au dénominateur et écrire -4{x}. Là encore, une vérification numérique tranche : pour x = 2, la vraie valeur est -4{4} = -1, la fausse donnerait -2. Oublier le 2 de la racine et écrire 5{x}. Le 2 n'est pas décoratif : il vient de l'exposant 1{2}, et sans lui la dérivée est deux fois trop grande. À retenir : Les trois dérivées usuelles du chapitre tiennent en une ligne, et il faut les savoir sans hésiter : [formule] Une formule à moitié sue produit une réponse fausse mais plausible — c'est le pire des cas, parce que rien ne t'alerte. Le réflexe qui sauve : vérifier le signe de ta dérivée contre le sens de variation que tu connais de la fonction.