Équation de la tangente

Énoncé

Soit f(x) = x^2 - 4x + 5. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 3.

Indice : Tangente : y = f'(a)(x - a) + f(a).

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Une tangente est une droite, et une droite est déterminée par deux informations : un point par lequel elle passe, et sa pente. C'est exactement ce que la formule réclame, et c'est pourquoi elle contient deux quantités différentes. - le point : la tangente touche la courbe en x = 3, donc elle passe par le point de coordonnées (3\,;f(3)) — d'où le f(a) ; - la pente : c'est la définition même du nombre dérivé — d'où le f'(a). Équation de la tangente : La tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation [formule] On y lit une droite de pente f'(a) passant par le point (a\,;f(a)). La méthode, dans l'ordre : 1. Calculer f(a) — l'ordonnée du point de contact. 2. Calculer la fonction dérivée f'(x). 3. Évaluer f'(a) — la pente. 4. Assembler, puis développer pour obtenir la forme y = mx + p.
2. Étape 2 : 1. L'ordonnée du point de contact. On remplace x par 3 dans f : f(3) = 3^2 - 4 3 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2. La tangente passe donc par le point A(3\,;2).

   f(3) = 2

3. Étape 3 : 2. La fonction dérivée. On dérive terme à terme : f'(x) = 2x - 4. 3. La pente. On remplace x par 3 dans f', et non dans f : f'(3) = 2 3 - 4 = 6 - 4 = 2. ℹ️ Ici f(3) et f'(3) valent tous les deux 2. C'est une coïncidence de cet exercice, pas une règle — mais elle oblige à être rigoureux dans la rédaction, car les deux nombres ne jouent pas le même rôle.

   f'(x) = 2x - 4, f'(3) = 2

4. Étape 4 : 4. On assemble. Avec a = 3, f(a) = 2 et f'(a) = 2 : y = f'(3)(x - 3) + f(3) = 2(x - 3) + 2. On développe pour obtenir la forme usuelle d'une équation de droite : y = 2x - 6 + 2 = 2x - 4. [formule]

   y = 2x - 4

5. Étape 5 : Vérification. Le point de contact doit appartenir à la tangente. On remplace x par 3 dans l'équation trouvée : y = 2 3 - 4 = 2 ✓ On retrouve bien f(3) = 2 : la droite passe par A(3\,;2), comme elle le doit. Ce contrôle prend cinq secondes et attrape presque toutes les fautes de calcul de l'assemblage.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Confondre f(a) et f'(a). Écrire y = f(3)(x - 3) + f'(3), c'est prendre l'ordonnée pour une pente et la pente pour une ordonnée. Ici les deux valent 2, donc l'erreur ne se voit pas — mais avec f(x) = x^2 en a = 3, on aurait f(3) = 9 et f'(3) = 6, et la droite serait complètement fausse. Remplacer a dans f au lieu de f' pour obtenir la pente. Deux étapes bien séparées : on dérive d'abord, on évalue ensuite. Oublier de développer 2(x-3) correctement : écrire 2x - 3 au lieu de 2x - 6. Le facteur multiplie les deux termes de la parenthèse. À retenir : Deux lectures de la formule, qui aident à ne plus se tromper. Le rôle des deux quantités : f'(a) est devant le (x - a), à la place du coefficient directeur ; f(a) est ajouté à la fin, à la place de l'ordonnée à l'origine — sauf qu'ici l'ordonnée est prise en a, pas en 0. Le contrôle : remplace x par a dans ton équation finale. Tu dois retomber sur f(a), puisque la tangente touche la courbe en ce point.