Dériver des fonctions polynômes

Énoncé

Calculer la dérivée de chaque fonction : a) f(x) = 3x^2 - 5x + 2 b) g(x) = x^4 - 2x^3 + 7 c) h(x) = -x^3 + 6x

Indice : Utilise (x^n)' = nx^{n-1} et la linéarité de la dérivation.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Un polynôme se dérive terme par terme, indépendamment des autres. C'est ce que dit la linéarité, et c'est ce qui rend l'exercice mécanique : il n'y a aucune stratégie à trouver, seulement une règle à appliquer proprement autant de fois qu'il y a de termes. Dériver un polynôme : [formule] En pratique, trois cas suffisent : - un terme en x^n : l'exposant descend en facteur, puis diminue de 1 ; - un terme en kx : il devient k, le x disparaît ; - une constante : elle devient 0, elle disparaît. Astuce : Le terme en kx n'est pas un cas à part : c'est kx^1, donc il devient 1 k\,x^0 = k. Et la constante est kx^0, dont la dérivée fait apparaître un facteur 0. Les trois cas ne sont qu'une seule règle.
2. Étape 2 : a) f(x) = 3x^2 - 5x + 2. On traite les trois termes dans l'ordre. - 3x^2 : l'exposant 2 descend en facteur et diminue de 1, ce qui donne 3 2 x^1 = 6x ; - -5x : terme du premier degré, il devient son coefficient, soit -5 ; - +2 : constante, elle disparaît. [formule]

   f'(x) = 6x - 5

3. Étape 3 : b) g(x) = x^4 - 2x^3 + 7. - x^4 donne 4x^3 ; - -2x^3 donne -2 3 x^2 = -6x^2 ; - +7 disparaît. [formule] On peut d'ailleurs factoriser : g'(x) = 2x^2(2x - 3), ce qui servirait si l'on devait ensuite étudier son signe.

   g'(x) = 4x^3 - 6x^2

4. Étape 4 : c) h(x) = -x^3 + 6x. - -x^3 : le coefficient est -1, donc -1 3 x^2 = -3x^2 ; - +6x donne 6. [formule]

   h'(x) = -3x^2 + 6

5. Étape 5 : L'erreur classique : Deux fautes se partagent presque tous les points perdus sur ce type d'exercice, et elles sont symétriques. Oublier de faire descendre l'exposant : écrire (x^4)' = x^3 au lieu de 4x^3. Le résultat a le bon degré, donc rien n'a l'air anormal — c'est ce qui la rend difficile à voir. Oublier de le diminuer : écrire (x^4)' = 4x^4. Là, le contrôle est immédiat : dériver fait toujours perdre un degré. Si ton résultat a le même degré que la fonction de départ, il est faux. Troisième piège, plus discret : recopier la constante. En a), écrire f'(x) = 6x - 5 + 2. Une constante ne varie pas, donc sa contribution à la vitesse de variation est nulle. À retenir : Deux contrôles gratuits, à faire systématiquement. Le degré : f de degré n donne f' de degré n - 1. Ici g est de degré 4, g' est de degré 3 ✓ Le nombre de termes : il diminue de 1 si le polynôme avait une constante, il reste le même sinon. Ici g a trois termes et g' en a deux ✓