Calculer un taux d'accroissement

Énoncé

Soit f(x) = x^2 + 3x. Calculer le taux d'accroissement de f entre 1 et 1+h, puis en déduire f'(1).

Indice : (h) = f(1+h) - f(1){h}. Simplifie puis fais tendre h vers 0.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Cet exercice ne demande pas d'appliquer une formule de dérivation : il demande de refaire à la main ce que ces formules automatisent. C'est le seul exercice du chapitre où l'on voit d'où vient la dérivée. L'idée est celle-ci. Entre deux points de la courbe, on sait calculer une pente — c'est le taux d'accroissement, la pente de la droite qui joint les deux points (une sécante). Puis on rapproche le second point du premier, en faisant tendre h vers 0. La sécante bascule peu à peu et vient se coller à la courbe : sa position limite est la tangente, et sa pente est le nombre dérivé. Nombre dérivé : Le taux d'accroissement de f entre a et a + h est [formule] Si (h) tend vers un nombre fini quand h tend vers 0, ce nombre est le nombre dérivé de f en a, noté f'(a). C'est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. Astuce : Le h ne peut jamais valoir 0 — il est au dénominateur. Toute la manœuvre consiste donc à simplifier l'expression jusqu'à faire disparaître ce dénominateur, et seulement ensuite à regarder ce qui se passe quand h devient petit.
2. Étape 2 : On calcule les deux valeurs de f dont on a besoin. D'abord la plus simple : f(1) = 1^2 + 3 1 = 1 + 3 = 4. Puis celle qui contient h. On remplace x par 1 + h partout, sans oublier que le carré porte sur toute la parenthèse : f(1+h) = (1+h)^2 + 3(1+h). On développe chaque morceau séparément. Pour le carré, on utilise l'identité remarquable (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 : (1+h)^2 = 1 + 2h + h^2 et pour le second, on distribue le 3 sur les deux termes : 3(1+h) = 3 + 3h. En additionnant et en regroupant les termes semblables : f(1+h) = 1 + 2h + h^2 + 3 + 3h = 4 + 5h + h^2.

   f(1) = 4, f(1+h) = 4 + 5h + h^2

3. Étape 3 : On forme maintenant le taux d'accroissement : [formule] Le 4 s'en va — et ce n'est pas un hasard : c'est toujours ce qui se produit. Le numérateur mesure la variation de f, donc il s'annule quand h = 0, ce qui garantit qu'on pourra factoriser par h. [formule] On factorise le numérateur par h : [formule] Cette simplification est légitime parce que h 0 : on calcule un taux entre deux points distincts.

   (h) = 5 + h

4. Étape 4 : Le dénominateur a disparu : on peut enfin regarder ce qui se passe quand h devient petit. [formule] Ce que ce nombre signifie. La tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1 a pour pente 5 : au voisinage de ce point, la fonction augmente environ 5 fois plus vite que x. Contrôle par la formule du cours : f'(x) = 2x + 3, donc f'(1) = 2 + 3 = 5 ✓ — les deux voies concordent, ce qui est rassurant sur les deux.

   f'(1) = 5

5. Étape 5 : L'erreur classique : Remplacer h par 0 avant d'avoir simplifié. On obtient alors (0) = 0{0}, qui ne veut rien dire — et beaucoup en concluent que la limite n'existe pas, ou écrivent 0. L'ordre n'est pas négociable : on simplifie d'abord, on passe à la limite ensuite. Tant que le h est au dénominateur, il est interdit de le remplacer par 0. Second piège, dans le développement : écrire 3(1+h) = 3 + h. Le facteur 3 multiplie les deux termes de la parenthèse. Avec cette faute, on trouverait (h) = 3 + h et donc f'(1) = 3, au lieu de 5. À retenir : Le numérateur f(a+h) - f(a) s'annule toujours en h = 0 : il est donc toujours factorisable par h. Si tu n'y arrives pas, c'est qu'une erreur de développement s'est glissée avant — reprends le calcul de f(a+h) plutôt que de chercher une astuce. Et garde le sens en tête : f'(a) est une pente. Un nombre dérivé positif veut dire que la courbe monte, négatif qu'elle descend, nul qu'elle est momentanément horizontale.