Les paraboles qui passent par deux points de l'axe

Énoncé

Le jet d'eau d'une fontaine part du sol au point O et retombe au sol 4 m plus loin. Sa hauteur, en mètres, est modélisée par une fonction polynôme du second degré h, où x est la distance horizontale au point O, en mètres, avec 0 ≤ x ≤ 4. Ainsi h(0) = 0 et h(4) = 0. a) Justifier qu'il existe un réel a non nul tel que h(x) = ax(x - 4). b) Le jet passe à 3 m de hauteur, à 1 m du point O. Déterminer a, puis la forme développée de h(x). c) Quelle est la hauteur maximale du jet, et à quelle distance de O est-elle atteinte ? d) Le jet d'une seconde fontaine part du même point et retombe au même endroit, mais monte jusqu'à 6 m. Déterminer la fonction qui modélise sa hauteur.

Indice : Une fonction du second degré qui s'annule en x₁ et x₂ s'écrit a(x - x₁)(x - x₂) : il ne reste qu'à trouver a.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. On connaît les deux racines de h : 0 et 4. Cela ne suffit pas à connaître h, car une infinité de paraboles coupent l'axe en ces deux points ; mais cela réduit l'inconnue à un seul nombre, le coefficient a. Une information de plus, comme un point du jet, le détermine. Les trinômes de racines x₁ et x₂ : Si x₁ ≠ x₂, les fonctions polynômes du second degré qui s'annulent en x₁ et en x₂ sont exactement les fonctions x ↦ a(x - x₁)(x - x₂), avec a ≠ 0. Leur axe de symétrie est la droite x = (x₁ + x₂)/2.
2. Étape 2 : a) h est une fonction polynôme du second degré qui s'annule en 0 et en 4, deux réels distincts. D'après le théorème, il existe un réel a ≠ 0 tel que : h(x) = a(x - 0)(x - 4) = ax(x - 4)

   h(x) = ax(x - 4)

3. Étape 3 : b) Le jet passe par le point de coordonnées (1 ;3), donc h(1) = 3 : h(1) = a × 1 × (1 - 4) = -3a, d'où -3a = 3 et a = -1. h(x) = -x(x - 4) = -x² + 4x Contrôle : h(1) = -1 + 4 = 3 et h(4) = -16 + 16 = 0.

   h(x) = -x² + 4x

4. Étape 4 : c) a = -1 < 0 : la parabole est tournée vers le bas, et h atteint son maximum au sommet. Le sommet est sur l'axe de symétrie, à mi-chemin des racines : α = (0 + 4)/2 = 2. On le retrouve avec α = -b/2a = -4/(2 × (-1)) = 2. h(2) = -4 + 8 = 4. Le jet atteint sa hauteur maximale, 4 m, à 2 m du point O, à mi-chemin entre le départ et l'arrivée.

   h(2) = 4

5. Étape 5 : d) Le second jet a les mêmes racines, 0 et 4 : sa hauteur s'écrit h₂(x) = ax(x - 4), avec un autre coefficient a. Son maximum est encore atteint à mi-chemin, en x = 2, quel que soit a < 0 : h₂(2) = a × 2 × (2 - 4) = -4a, d'où -4a = 6 et a = -3/2. h₂(x) = -3/2 x(x - 4) = -1,5x² + 6x Contrôle : h₂(2) = -6 + 12 = 6. Les deux jets partent et retombent aux mêmes points ; seul a change, et c'est lui qui fixe la hauteur : 4 m pour a = -1, 6 m pour a = -1,5.

   h₂(x) = -1,5x² + 6x

6. Étape 6 : L'erreur classique : Oublier le coefficient a et écrire h(x) = x(x - 4), comme s'il n'existait qu'une parabole passant par 0 et 4. On trouverait h(1) = -3 : un jet à 3 m sous le sol. Écrire x(x - 4), c'est prendre a = 1 sans le dire, alors que a doit être négatif pour que la parabole soit tournée vers le bas. À retenir : Deux racines connues donnent la forme a(x - x₁)(x - x₂) ; un point de plus donne a. Et le sommet est toujours à mi-chemin des racines, en (x₁ + x₂)/2 : pas besoin de développer pour le trouver.