Factoriser de tête : somme et produit

Énoncé

Sans calculer de discriminant, factoriser chaque trinôme en cherchant deux entiers dont on connaît la somme et le produit. a) x² - 7x + 12 b) x² + 5x + 6 c) x² - 2x - 15 d) 2x² - 10x + 12 (on pourra commencer par mettre 2 en facteur) e) Pourquoi cette méthode échoue-t-elle pour x² - 3x + 1 ?

Indice : Pour x² + bx + c, les racines ont pour somme -b et pour produit c. Le signe du produit dit si elles sont de même signe.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Quand le coefficient de x² vaut 1, les racines x₁ et x₂ de x² + bx + c vérifient x₁ + x₂ = -b et x₁ x₂ = c. Si elles sont entières, on les trouve de tête parmi les diviseurs de c : c'est la factorisation directe que le programme demande de pratiquer. Somme, produit et signes : Pour x² + bx + c = (x - x₁)(x - x₂) : x₁ + x₂ = -b et x₁ x₂ = c. Si c > 0, les racines sont de même signe, celui de leur somme ; si c < 0, elles sont de signes contraires.
2. Étape 2 : a) Somme 7, produit 12 : le produit est positif et la somme aussi, donc deux racines positives. Parmi les couples de diviseurs de 12 — 1 et 12, 2 et 6, 3 et 4 —, seul 3 et 4 a pour somme 7. x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) Contrôle : (x - 3)(x - 4) = x² - 4x - 3x + 12 = x² - 7x + 12.

   x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)

3. Étape 3 : b) Somme -5, produit 6 : le produit est positif et la somme négative, donc deux racines négatives. Ce sont -2 et -3 : (-2) × (-3) = 6 et -2 - 3 = -5. x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

   x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

4. Étape 4 : c) Somme 2, produit -15 : le produit est négatif, donc les racines sont de signes contraires, et leurs valeurs absolues diffèrent de 2. Parmi 1 et 15, 3 et 5, c'est 3 et 5 : la racine positive est la plus grande, puisque la somme est positive. Ce sont 5 et -3. x² - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3) Contrôle : (x - 5)(x + 3) = x² + 3x - 5x - 15 = x² - 2x - 15.

   x² - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)

5. Étape 5 : d) Le coefficient de x² vaut 2 : on le met d'abord en facteur, 2x² - 10x + 12 = 2(x² - 5x + 6). Pour x² - 5x + 6 : somme 5, produit 6, ce sont 2 et 3. 2x² - 10x + 12 = 2(x - 2)(x - 3)

   2x² - 10x + 12 = 2(x - 2)(x - 3)

6. Étape 6 : e) Il faudrait deux entiers de somme 3 et de produit 1. Les seuls entiers de produit 1 sont 1 et 1 (somme 2), ou -1 et -1 (somme -2) : aucun couple ne convient. Pourtant le trinôme a des racines : Δ = 9 - 4 = 5 > 0, et elles valent (3 - √(5))/2 et (3 + √(5))/2. Elles ne sont pas entières, c'est pourquoi le calcul mental ne les trouve pas : ici, il faut le discriminant.
7. Étape 7 : L'erreur classique : Se tromper de signe sur la somme : dans x² - 7x + 12, la somme des racines vaut 7, pas -7. Avec -3 et -4, on écrirait (x + 3)(x + 4), qui vaut x² + 7x + 12 : le signe du terme en x est faux. À retenir : Pour x² + bx + c : somme -b, produit c. Le signe de c dit tout de suite si les racines sont de même signe. Et si aucun couple d'entiers ne vient en quelques secondes, ce n'est pas une preuve qu'il n'y a pas de racine : on passe au discriminant.