Factoriser grâce à une racine évidente

Énoncé

Factoriser chaque trinôme sans calculer son discriminant. a) f(x) = x² + 4x - 5, dont on vérifiera que 1 est une racine. b) g(x) = 3x² - 5x + 2, dont on vérifiera que 1 est une racine. c) h(x) = 2x² + 5x + 2, dont on vérifiera que -2 est une racine. d) k(x) = 2x² - 3x - 5 : chercher d'abord une racine évidente parmi 1, -1 et 2.

Indice : Si x₁ est une racine, l'autre racine x₂ vérifie x₁ × x₂ = c/a.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Le discriminant marcherait, mais il y a plus rapide : quand on connaît une racine, la seconde se déduit du produit des racines, sans aucune racine carrée. Il reste à vérifier que le nombre proposé est bien racine, en remplaçant x par lui. Somme et produit des racines : Si le trinôme ax² + bx + c a deux racines x₁ et x₂, alors x₁ + x₂ = -b/a et x₁ × x₂ = c/a, et il se factorise en a(x - x₁)(x - x₂).
2. Étape 2 : a) f(1) = 1 + 4 - 5 = 0 : 1 est bien racine. Ici a = 1 et c = -5, donc 1 × x₂ = (-5)/1, d'où x₂ = -5. f(x) = (x - 1)(x + 5) Contrôle par la somme : 1 + (-5) = -4 = -b/a.

   f(x) = (x - 1)(x + 5)

3. Étape 3 : b) g(1) = 3 - 5 + 2 = 0 : 1 est bien racine. Ici a = 3 et c = 2, donc 1 × x₂ = 2/3, d'où x₂ = 2/3. g(x) = 3(x - 1)(x - 2/3) = (x - 1)(3x - 2) On a fait entrer le facteur 3 dans la seconde parenthèse. Contrôle en développant : (x - 1)(3x - 2) = 3x² - 2x - 3x + 2 = 3x² - 5x + 2.

   g(x) = (x - 1)(3x - 2)

4. Étape 4 : c) h(-2) = 2 × 4 - 10 + 2 = 0 : -2 est bien racine. Ici a = 2 et c = 2, donc (-2) × x₂ = 2/2 = 1, d'où x₂ = -1/2. h(x) = 2(x + 2)(x + 1/2) = (x + 2)(2x + 1) Contrôle par la somme : -2 - 1/2 = -5/2 = -b/a.

   h(x) = (x + 2)(2x + 1)

5. Étape 5 : d) On essaie les trois nombres proposés : k(1) = 2 - 3 - 5 = -6, k(-1) = 2 + 3 - 5 = 0, k(2) = 8 - 6 - 5 = -3. Seul -1 est racine. Le produit des racines vaut c/a = -5/2, donc (-1) × x₂ = -5/2, d'où x₂ = 5/2. k(x) = 2(x + 1)(x - 5/2) = (x + 1)(2x - 5) Remarque : k(1) = a + b + c et k(-1) = a - b + c. Ainsi 1 est racine quand a + b + c = 0, et -1 quand a - b + c = 0 : c'est le premier test à faire de tête.

   k(x) = (x + 1)(2x - 5)

6. Étape 6 : L'erreur classique : Prendre c pour le produit des racines quand a ≠ 1. En b), on trouverait x₂ = 2 et l'on écrirait 3(x - 1)(x - 2), qui vaut 3x² - 9x + 6 : ce n'est pas g(x). Le produit des racines est c/a = 2/3. À retenir : Avant de calculer Δ, teste 1 et -1 : il suffit de regarder si a + b + c = 0 ou a - b + c = 0. Une racine trouvée, la seconde vient du produit c/a, et la somme -b/a sert de contrôle.