Problème géométrique avec second degré

Énoncé

Un rectangle est inscrit sous la parabole y = 12 - x^2 et au-dessus de l'axe des abscisses. La base du rectangle est sur l'axe Ox et les deux sommets supérieurs sont sur la parabole. Déterminer les dimensions du rectangle d'aire maximale.

Indice : Par symétrie, les sommets supérieurs sont en (-x, 12-x^2) et (x, 12-x^2). Exprime l'aire en fonction de x.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. La mise en équation est celle de tous les problèmes d'optimisation : une inconnue, une aire à exprimer, un maximum à trouver. Cet exercice sort de la boîte à outils du chapitre : L'aire obtenue sera un polynôme de degré 3, pas un trinôme : -b{2a} ne s'y applique pas. Son maximum se trouve avec la dérivée, qui est l'objet du chapitre suivant. Ce n'est donc pas un trou dans ton cours si tu bloques ici : la première moitié (mise en équation, symétrie, domaine) relève bien de ce chapitre, la seconde non. Tu peux y revenir après le chapitre Dérivation.
2. Étape 2 : La parabole y = 12 - x^2 est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, et le rectangle l'est aussi. En notant x > 0 l'abscisse du sommet supérieur droit, les deux sommets supérieurs sont (-x\,;12 - x^2) et (x\,;12 - x^2). - largeur : 2x (de -x à x) ; - hauteur : 12 - x^2. Pour que la hauteur soit positive, il faut x^2 < 12, donc 0 < x < 23.

   largeur = 2x, hauteur = 12 - x^2

3. Étape 3 : L'aire vaut donc : A(x) = 2x(12 - x^2) = 24x - 2x^3. C'est ici que le second degré ne suffit plus : A est de degré 3, et sa courbe n'est pas une parabole. On dérive : A'(x) = 24 - 6x^2, qui s'annule quand x^2 = 4, soit x = 2 (la valeur -2 est hors du domaine).

   A'(x) = 24 - 6x^2

4. Étape 4 : Sur ]0\,;2[, x^2 < 4 donc A'(x) > 0 ; sur ]2\,;23[, A'(x) < 0. L'aire croît puis décroît : le maximum est bien atteint en x = 2. - largeur : 2 2 = 4 ; - hauteur : 12 - 2^2 = 8 ; - aire : 4 8 = 32 unités d'aire. Contrôle sur deux valeurs voisines : A(1{,}5) = 3 9{,}75 = 29{,}25 et A(2{,}5) = 5 5{,}75 = 28{,}75, tous deux inférieurs à 32 ✓

   A_{} = 32

5. Étape 5 : L'erreur classique : Appliquer = -b{2a} à A(x) = -2x^3 + 24x en prenant a = -2 et b = 24, ce qui donnerait x = 6. Cette formule est celle du sommet d'une parabole : elle n'a aucun sens pour un degré 3. Et x = 6 est même hors du domaine, puisqu'il faudrait x < 23 3{,}46. À retenir : Avant d'appliquer une formule d'optimisation, regarde le degré de la fonction obtenue. Degré 2 : le sommet se lit avec -b{2a}. Degré supérieur : il faut passer par la dérivée. Une hauteur variable multipliée par une largeur variable donne souvent un degré 3 — c'est le cas ici, et c'est ce qui distingue ce problème de celui de l'enclos.