Problème géométrique avec second degré

Énoncé

Un rectangle est inscrit sous la parabole y = 12 - x^2 et au-dessus de l'axe des abscisses. La base du rectangle est sur l'axe Ox et les deux sommets supérieurs sont sur la parabole. Déterminer les dimensions du rectangle d'aire maximale.

Indice : Par symétrie, les sommets supérieurs sont en (-x, 12-x^2) et (x, 12-x^2). Exprime l'aire en fonction de x.

Correction

1. Étape 1 : Par symétrie de la parabole, les sommets supérieurs sont (-x, 12-x^2) et (x, 12-x^2) avec 0 < x < 23. Largeur = 2x, hauteur = 12 - x^2.
2. Étape 2 : Aire : A(x) = 2x(12 - x^2) = -2x^3 + 24x. Pour trouver le maximum, on dérive : A'(x) = -6x^2 + 24 = 0 → x^2 = 4 → x = 2.
3. Étape 3 : Pour x = 2 : largeur = 2 2 = 4, hauteur = 12 - 4 = 8. A(2) = 4 8 = 32. **Le rectangle d'aire maximale a pour dimensions 4 × 8, et son aire est 32 unités d'aire.**