Discussion selon un paramètre

Énoncé

Soit l'équation (E_m) : x^2 - (2m+1)x + m^2 + m = 0. a) Calculer en fonction de m. b) Discuter le nombre de solutions selon les valeurs de m. c) Pour m = 3, résoudre l'équation et vérifier avec les relations de Viète.

Indice : Développe , simplifie, puis étudie son signe.

Correction

1. Étape 1 : **a)** = (2m+1)^2 - 4(m^2+m) = 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 - 4m = 1.
2. Étape 2 : **b)** = 1 > 0 pour tout m. L'équation admet **toujours deux solutions distinctes**.
3. Étape 3 : **c)** Pour m = 3 : x^2 - 7x + 12 = 0. x_1 = 7-1{2} = 3 et x_2 = 7+1{2} = 4.
4. Étape 4 : Vérification par Viète : x_1 + x_2 = 3 + 4 = 7 = 2(3)+1 ✅ et x_1 x_2 = 12 = 3^2 + 3 ✅.