Discussion selon un paramètre

Énoncé

Soit l'équation (E_m) : x^2 - (2m+1)x + m^2 + m = 0. a) Calculer en fonction de m. b) Discuter le nombre de solutions selon les valeurs de m. c) Pour m = 3, résoudre l'équation et vérifier avec les relations de Viète.

Indice : Développe , simplifie, puis étudie son signe.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Comme dans tout exercice à paramètre, x est l'inconnue et m un nombre fixé. On calcule donc en fonction de m, puis on discute son signe. Ce qu'on utilise : Le nombre de solutions de ax^2 + bx + c = 0 est donné par le signe de = b^2 - 4ac : deux si > 0, une si = 0, aucune si < 0.
2. Étape 2 : a) Ici a = 1, b = -(2m+1) et c = m^2 + m. b^2 = (-(2m+1))^2 = (2m+1)^2 = 4m^2 + 4m + 1. 4ac = 4(m^2 + m) = 4m^2 + 4m. D'où = (4m^2 + 4m + 1) - (4m^2 + 4m) = 1.

   = 1

3. Étape 3 : b) = 1 > 0, et cette valeur ne dépend pas de m. Il n'y a donc rien à discuter : quelle que soit la valeur de m, l'équation (E_m) admet toujours deux solutions distinctes. On peut même les écrire : x = (2m+1) 1{2}, soit x_1 = m et x_2 = m + 1 — deux entiers consécutifs quand m est entier, ce qui explique que leur écart soit constant.

   x_1 = m, x_2 = m + 1

4. Étape 4 : c) Pour m = 3 : 2m + 1 = 7 et m^2 + m = 9 + 3 = 12, donc l'équation devient x^2 - 7x + 12 = 0. x_1 = 7 - 1{2} = 3 et x_2 = 7 + 1{2} = 4 — conformes à la formule générale x_1 = m, x_2 = m+1 ✓

   S = \{3 ; 4\}

5. Étape 5 : Vérification par Viète. Somme : x_1 + x_2 = 3 + 4 = 7, et -b{a} = 2m + 1 = 7 ✓ Produit : x_1 x_2 = 12, et c{a} = m^2 + m = 12 ✓
6. Étape 6 : L'erreur classique : Oublier le carré du signe : écrire b^2 = -(2m+1)^2. Le coefficient b vaut -(2m+1), et son carré est positif — (-(2m+1))^2 = (2m+1)^2. Avec le signe fautif, on obtiendrait = -8m^2 - 8m - 1 et une discussion entière construite sur du faux. Autre erreur : arrêter le développement à = 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 - 4m sans réduire, puis conclure que « dépend de m ». Toute la question b) tient dans cette réduction. À retenir : Quand un paramétré se simplifie en une constante, ce n'est presque jamais un accident : cela signale une factorisation cachée. Ici x^2 - (2m+1)x + m(m+1) = (x - m)(x - (m+1)), et l'équation était résoluble sans discriminant.