Problème d'optimisation – aire maximale

Énoncé

Un fermier veut clôturer un enclos rectangulaire avec 60 m de grillage. Un côté longe une rivière et n'a pas besoin de clôture. Quelles dimensions donnent une aire maximale ? Quelle est cette aire ?

Indice : Si x est la largeur (perpendiculaire à la rivière), exprime la longueur en fonction de x, puis l'aire.

Correction

1. Étape 1 : Soit x la largeur. Contrainte : 2x + L = 60, donc L = 60 - 2x (avec 0 < x < 30).
2. Étape 2 : Aire : A(x) = x(60 - 2x) = -2x^2 + 60x.
3. Étape 3 : a = -2 < 0 → maximum en = -60{2 (-2)} = 15. A(15) = -2(225) + 60(15) = -450 + 900 = 450 m².
4. Étape 4 : Dimensions : largeur x = 15 m, longueur L = 30 m. **Aire maximale = 450 m².**