Problème d'optimisation – aire maximale

Énoncé

Un fermier veut clôturer un enclos rectangulaire avec 60 m de grillage. Un côté longe une rivière et n'a pas besoin de clôture. Quelles dimensions donnent une aire maximale ? Quelle est cette aire ?

Indice : Si x est la largeur (perpendiculaire à la rivière), exprime la longueur en fonction de x, puis l'aire.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Deux dimensions sont inconnues, mais elles ne sont pas indépendantes : les 60 m de grillage les relient. C'est cette contrainte qui permet de tout exprimer avec une seule inconnue, et de transformer un problème de géométrie en une étude de trinôme. Le piège du sujet est ailleurs : un côté longe la rivière, donc on ne clôture que trois côtés. Faire un croquis avant tout calcul est ce qui évite l'erreur. Un problème d'optimisation, dans l'ordre : 1. Faire un croquis et nommer l'inconnue. 2. Traduire la contrainte, pour exprimer l'autre dimension. 3. Écrire la quantité à optimiser, et la développer. 4. Lire le sommet, puis revenir aux dimensions demandées.
2. Étape 2 : Notons x la largeur (les deux côtés perpendiculaires à la rivière) et L la longueur (le côté parallèle à la rivière, opposé à celle-ci). Le grillage couvre deux largeurs et une longueur : 2x + L = 60, donc L = 60 - 2x. Pour que l'enclos existe, il faut x > 0 et L > 0, c'est-à-dire 0 < x < 30.

   L = 60 - 2x, 0 < x < 30

3. Étape 3 : L'aire est le produit des deux dimensions : A(x) = x L = x(60 - 2x) = -2x^2 + 60x. C'est un trinôme du second degré avec a = -2 < 0 : la parabole est tournée vers le bas, l'aire admet donc bien un maximum.

   A(x) = -2x^2 + 60x

4. Étape 4 : Le maximum est atteint au sommet : = -b{2a} = -60{2 (-2)} = 60{4} = 15. Cette valeur appartient bien à ]0\,;30[ : la solution est réalisable. A(15) = -2 15^2 + 60 15 = -450 + 900 = 450.

   A_{} = A(15) = 450\ m^2

5. Étape 5 : Réponse au problème posé. L'enclos d'aire maximale mesure : - largeur : x = 15 m ; - longueur : L = 60 - 2 15 = 30 m ; - aire : 450 m². On peut le sentir sur un autre découpage : avec x = 10, l'aire vaut 10 40 = 400 m² ; avec x = 20, elle vaut 20 20 = 400 m². Les deux sont inférieures à 450 — le sommet est bien au milieu.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Écrire la contrainte 2x + 2L = 60, comme pour un rectangle ordinaire. Le côté qui longe la rivière n'est pas clôturé : il n'y a que trois côtés à couvrir. Avec le périmètre complet on trouverait un carré de 15 m de côté et une aire de 225 m² — la moitié de la bonne réponse. Seconde erreur, plus rapide à faire : répondre « 15 » et s'arrêter. La question demande les dimensions et l'aire, soit trois nombres. À retenir : Dans un problème d'aire ou de périmètre, dessine la figure et hachure ce qui est clôturé avant d'écrire la moindre équation. La quasi-totalité des erreurs de ces exercices vient de la traduction de l'énoncé, pas du calcul qui suit.