Inéquation du second degré

Énoncé

Résoudre les inéquations suivantes : a) 2x^2 - 5x - 3 0 b) -x^2 + 4x - 4 > 0

Indice : Pour chaque inéquation : calcule , trouve les racines, dresse le tableau de signes.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Les deux inéquations se traitent de la même façon — racines, tableau, lecture — mais elles n'ont pas le même nombre de racines, et c'est justement ce que l'exercice met en scène. La b) a = 0 : un cas où beaucoup d'élèves cherchent un intervalle alors qu'il n'y en a aucun. Signe d'un trinôme selon : - > 0 : signe de a à l'extérieur des racines, signe opposé entre elles ; - = 0 : signe de a partout, sauf en la racine double où il s'annule ; - < 0 : signe de a partout, sans jamais s'annuler.
2. Étape 2 : a) Ici a = 2, b = -5, c = -3. = (-5)^2 - 4 2 (-3) = 25 + 24 = 49 > 0, donc = 7. x_1 = 5 - 7{4} = -1{2} et x_2 = 5 + 7{4} = 3.

   x_1 = -1{2}, x_2 = 3

3. Étape 3 : Comme a = 2 > 0, le trinôme est positif à l'extérieur des racines : | x | - | | -1{2} | | 3 | | + | |---|---|---|---|---|---|---|---| | f(x) | | + | 0 | - | 0 | + | | L'inégalité est large () : les racines, où le trinôme vaut 0, sont donc incluses. [formule]

   S = ]- ; -1{2}] [3 ; +[

4. Étape 4 : b) Ici a = -1, b = 4, c = -4. = 4^2 - 4 (-1) (-4) = 16 - 16 = 0. Il y a donc une racine double : x_0 = -b{2a} = -4{-2} = 2. On peut d'ailleurs factoriser directement : -x^2 + 4x - 4 = -(x^2 - 4x + 4) = -(x - 2)^2.

   -x^2 + 4x - 4 = -(x - 2)^2

5. Étape 5 : La forme -(x-2)^2 rend la conclusion évidente : (x-2)^2 0 toujours, donc -(x-2)^2 0 toujours. Le trinôme est donc négatif ou nul pour tout x, et vaut 0 uniquement en x = 2. Il n'est jamais strictement positif : [formule]

   S =

6. Étape 6 : L'erreur classique : En b), répondre S = \{2\}. En x = 2 le trinôme vaut 0, or l'inéquation demande > 0, strictement : 2 n'est donc pas solution. Avec 0, la réponse aurait été \{2\} — un seul symbole change tout. En a), l'erreur symétrique : ouvrir les crochets alors que l'inégalité est large. Ici x = 3 est solution, puisque 2 9 - 15 - 3 = 0 0. À retenir : Un ensemble de solutions vide est une réponse parfaitement valable — ce n'est pas le signe que tu t'es trompé. Et avant d'écrire tes crochets, relis le symbole de l'inéquation : < et > excluent les racines, et les incluent.