Forme canonique et extremum

Énoncé

Soit f(x) = -3x^2 + 18x - 24. a) Écrire f(x) sous forme canonique. b) En déduire l'extremum de f et la valeur de x pour laquelle il est atteint. c) Dresser le tableau de variations de f.

Indice : Calcule = -b/(2a) et = f(). Attention au signe de a.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Le mot « en déduire » de la question b) est une consigne : une fois la forme canonique écrite, l'extremum ne se calcule plus, il se lit. C'est tout l'intérêt de cette écriture. Ici a = -3 < 0 : la parabole est une colline. On sait donc, avant même de calculer, qu'il s'agira d'un maximum, et que f croît puis décroît. Ce que la forme canonique donne d'un coup : Si f(x) = a(x - )^2 + , alors pour tout x : - a > 0 : f(x) , minimum atteint en , f décroît puis croît ; - a < 0 : f(x) , maximum atteint en , f croît puis décroît.
2. Étape 2 : a) Ici a = -3, b = 18, c = -24. = -b{2a} = -18{2 (-3)} = -18{-6} = 3. = f(3) = -3 3^2 + 18 3 - 24 = -27 + 54 - 24 = 3. D'où f(x) = -3(x - 3)^2 + 3. Contrôle : -3(x-3)^2 + 3 = -3(x^2 - 6x + 9) + 3 = -3x^2 + 18x - 27 + 3 = -3x^2 + 18x - 24 ✓

   f(x) = -3(x - 3)^2 + 3

3. Étape 3 : b) Un carré est toujours positif ou nul, donc (x-3)^2 0. En multipliant par -3, qui est négatif, l'inégalité se retourne : -3(x-3)^2 0. En ajoutant 3 : f(x) 3 pour tout réel x. L'égalité a lieu quand (x-3)^2 = 0, c'est-à-dire en x = 3. Donc f admet un maximum valant 3, atteint en x = 3.

   f = f(3) = 3

4. Étape 4 : c) Puisque a < 0, f croît jusqu'au sommet puis décroît : | x | - | | 3 | | + | |---|---|---|---|---|---| | f | | croissante | 3 | décroissante | | f est donc croissante sur ]-\,;3] et décroissante sur [3\,;+[, avec un maximum de 3 en x = 3.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Annoncer un minimum parce que = 3 est positif. Le signe de ne joue aucun rôle : c'est le signe de a qui décide. Ici a = -3 < 0, donc maximum — même si sa valeur est positive. Erreur de signe fréquente sur : -18{-6} vaut +3, pas -3. Le contrôle par développement de l'étape 2 l'attrape aussitôt. À retenir : La démonstration de la question b) est un modèle réutilisable, et elle vaut mieux qu'une formule récitée : partir de (x-)^2 0, multiplier par a en retournant l'inégalité si a < 0, puis ajouter . C'est ainsi qu'on prouve un extremum, au lieu de l'affirmer.