Somme et produit des racines

Énoncé

Sans résoudre, déterminer la somme et le produit des racines de 3x^2 + 7x - 10 = 0. Vérifier ensuite en résolvant.

Indice : Formules de Viète : x_1 + x_2 = -b/a et x_1 x_2 = c/a.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Les relations de Viète donnent la somme et le produit des racines sans les calculer. Ce n'est pas un raccourci de paresse : c'est ce qui permet, plus tard, de trouver deux nombres dont on connaît la somme et le produit, ou de contrôler un calcul de racines en dix secondes. Relations de Viète : Si ax^2 + bx + c = 0 admet deux racines x_1 et x_2 (donc si 0) : [formule] Moyen de retenir : la Somme porte le Signe moins ; le Produit prend la constante.
2. Étape 2 : Ici a = 3, b = 7, c = -10. Somme : x_1 + x_2 = -b{a} = -7{3}. Produit : x_1 x_2 = c{a} = -10{3} = -10{3}. Un produit négatif nous apprend déjà quelque chose : les deux racines sont de signes contraires.

   x_1 + x_2 = -7{3}, x_1 x_2 = -10{3}

3. Étape 3 : Vérification en résolvant. = 7^2 - 4 3 (-10) = 49 + 120 = 169, donc = 13. x_1 = -7 - 13{2 3} = -20{6} = -10{3} et x_2 = -7 + 13{6} = 6{6} = 1.

   x_1 = -10{3}, x_2 = 1

4. Étape 4 : On confronte les deux voies : Somme : -10{3} + 1 = -10{3} + 3{3} = -7{3} ✓ Produit : -10{3} 1 = -10{3} ✓ Les deux méthodes concordent — et l'annonce de l'étape 2 se confirme : une racine est négative, l'autre positive.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Intervertir les deux formules et annoncer une somme de -10{3} et un produit de -7{3}. Le mnémo lève le doute : Somme ↔ Signe moins, Produit ↔ constante. Erreur de signe voisine : écrire la somme 7{3} en oubliant le moins. Ici, le contrôle est immédiat — deux racines dont le produit est négatif et dont la plus grande vaut 1 ne peuvent pas avoir une somme positive. À retenir : Viète est surtout un outil de contrôle : après avoir calculé deux racines par la formule, additionne-les et multiplie-les. Si tu ne retombes pas sur -b{a} et c{a}, l'erreur est dans le calcul des racines, et tu le sais en dix secondes.