Optimiser une recette

Énoncé

Un cinéma vend actuellement 300 places par séance au tarif de 12 €. Une étude montre que chaque baisse de 1 € sur le prix attire 50 spectateurs supplémentaires. On note x la baisse consentie, en euros, avec 0 x 12. a) Exprimer, en fonction de x, le prix de la place et le nombre de spectateurs. b) Montrer que la recette est R(x) = -50x^2 + 300x + 3600. c) Quelle baisse maximise la recette ? Quel est alors le prix de la place, le nombre de spectateurs et la recette ?

Indice : La recette est le produit du prix par le nombre de spectateurs. Une fois R obtenue, son maximum se lit au sommet de la parabole.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. L'énoncé ne donne aucune fonction : c'est à nous de la construire. Tout le travail est là, et il tient en une phrase — une recette est un prix multiplié par une quantité, et ici les deux dépendent de la même baisse x. C'est ce produit de deux expressions du premier degré qui fabrique le second degré. Une fois R(x) obtenue, la question « quel maximum ? » n'est plus qu'une lecture de sommet. Un problème d'optimisation, dans l'ordre : 1. Nommer l'inconnue (l'énoncé le fait ici : c'est x). 2. Exprimer chaque grandeur en fonction de x. 3. Écrire la quantité à optimiser, et la développer. 4. Lire le sommet — et revenir au contexte pour répondre.
2. Étape 2 : a) Si la baisse est de x euros, le prix passe de 12 à 12 - x euros. Chaque euro de baisse attire 50 spectateurs de plus, donc x euros en attirent 50x : le nombre de spectateurs est 300 + 50x. On vérifie sur un cas simple : pour x = 1, le prix est 11 € et il y a 350 spectateurs — ce que dit bien l'énoncé.

   prix = 12 - x, spectateurs = 300 + 50x

3. Étape 3 : b) La recette est le produit des deux : R(x) = (12 - x)(300 + 50x). On développe : R(x) = 12 300 + 12 50x - 300x - 50x^2 = 3600 + 600x - 300x - 50x^2. En regroupant : R(x) = -50x^2 + 300x + 3600 ✓

   R(x) = -50x^2 + 300x + 3600

4. Étape 4 : c) R est un trinôme avec a = -50 < 0 : la parabole est tournée vers le bas, donc R admet bien un maximum, atteint au sommet. = -b{2a} = -300{2 (-50)} = 300{100} = 3. Cette valeur est bien dans l'intervalle [0\,;12] imposé par l'énoncé : la baisse de 3 € est réalisable.

   = 3

5. Étape 5 : On revient au contexte, car « x = 3 » n'est pas une réponse : - baisse : 3 € ; - prix de la place : 12 - 3 = 9 € ; - spectateurs : 300 + 50 3 = 450 ; - recette : R(3) = 9 450 = 4\,050 €. À comparer à la recette actuelle, 12 300 = 3\,600 € : baisser le prix rapporte ici 450 € de plus par séance.

   R_{} = R(3) = 4\,050\ €

6. Étape 6 : L'erreur classique : S'arrêter à « x = 3 ». La question demande un prix, un nombre de spectateurs et une recette : 3 n'est aucun des trois, c'est la baisse. Une réponse d'optimisation se termine toujours par un retour à l'énoncé. Autre piège, au moment de modéliser : écrire le nombre de spectateurs 300 + 50 (une seule fois 50) au lieu de 300 + 50x. Le contrôle sur x = 1 de l'étape 2 attrape cette faute avant qu'elle ne contamine tout le reste. À retenir : Dans tout problème d'optimisation, vérifie que le sommet trouvé appartient bien à l'intervalle autorisé. S'il en sort, le maximum est atteint à une borne — et le calcul du sommet ne répond alors plus à la question.