Problème d'optimisation

Énoncé

On dispose de 40 m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire contre un mur. Quelles dimensions maximisent l'aire ?

Indice : Si x est la largeur, le périmètre (3 côtés) donne la longueur. L'aire est un trinôme en x.

Correction

1. Étape 1 : Soit x la largeur. Le périmètre : 2x + L = 40, donc L = 40 - 2x.
2. Étape 2 : Aire : A(x) = x(40-2x) = -2x^2 + 40x.
3. Étape 3 : Maximum en = -40{2(-2)} = 10. A(10) = -200 + 400 = 200 m².
4. Étape 4 : Dimensions : largeur x = 10 m, longueur L = 20 m. Aire maximale = **200 m²**.