Paramètre et discriminant
Énoncé
Pour quelles valeurs de m l'équation x^2 - 2mx + m + 2 = 0 admet-elle deux solutions distinctes ?
Indice : Il faut > 0.
Correction
- Étape 1 : Ce qu'il faut voir. L'inconnue de l'équation est x ; m est un paramètre, un nombre fixé dont on ne sait rien. On ne cherche donc pas les racines : on cherche à quelle condition sur m il y en a deux, et cette condition est > 0.
Le point qui surprend : dépend de m, et c'est lui-même un trinôme du second degré en m. On résoudra donc une inéquation du second degré — dans la variable m cette fois.
Ce qu'on utilise :
L'équation ax^2 + bx + c = 0 (avec a 0) admet deux solutions distinctes si et seulement si > 0.
- Étape 2 : Ici a = 1, b = -2m, c = m + 2. On calcule en fonction de m :
= (-2m)^2 - 4 1 (m+2) = 4m^2 - 4m - 8.
On factorise par 4 pour alléger la suite : = 4(m^2 - m - 2).
= 4(m^2 - m - 2)
- Étape 3 : Comme 4 > 0, le signe de est celui de m^2 - m - 2. On cherche donc m^2 - m - 2 > 0.
Ce trinôme en m a pour discriminant ' = (-1)^2 - 4 1 (-2) = 1 + 8 = 9, donc ' = 3 et ses racines sont :
m_1 = 1 - 3{2} = -1 et m_2 = 1 + 3{2} = 2.
m^2 - m - 2 = (m + 1)(m - 2)
- Étape 4 : Le coefficient dominant de m^2 - m - 2 vaut 1 > 0 : il est donc positif à l'extérieur de ses racines.
| m | - | | -1 | | 2 | | + |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| | | + | 0 | - | 0 | + | |
Donc > 0 m \;]-\,;-1[ \;\; ]2\,;+[.
S = \;]- ; -1[ \;\; ]2 ; +[
- Étape 5 : Contrôle sur deux valeurs, une dans chaque cas.
Pour m = 3 (dans S) : l'équation devient x^2 - 6x + 5 = 0, de discriminant 36 - 20 = 16 > 0 — deux solutions ✓
Pour m = 0 (hors de S) : x^2 + 2 = 0, de discriminant 0 - 8 = -8 < 0 — aucune solution ✓
- Étape 6 : L'erreur classique :
Écrire = (-2m)^2 = -4m^2. Un carré n'est jamais négatif : (-2m)^2 = 4m^2. Avec le signe fautif, serait négatif pour presque tout m et on conclurait qu'il n'y a jamais deux solutions.
Autre confusion fréquente : chercher les valeurs de x au lieu de celles de m. Ici x n'est jamais calculé — la question ne porte que sur le paramètre.
À retenir :
Dans un exercice à paramètre, écris dès la première ligne qui est l'inconnue et qui est le paramètre. Et souviens-toi que devient alors une expression, dont on étudie le signe exactement comme celui de n'importe quel trinôme.