Sommet et extremum

Énoncé

Soit f(x) = 3x^2 - 12x + 7. a) Déterminer le sommet de la parabole. b) f admet-elle un minimum ou un maximum ? Quelle est sa valeur ?

Indice : Le sommet est en = -b/(2a).

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Deux questions, deux objets à ne pas confondre : le sommet est un point (deux coordonnées), l'extremum est un nombre (la valeur de f au sommet). Et c'est le signe de a, seul, qui dit s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum. Sommet et extremum : Pour f(x) = ax^2 + bx + c, le sommet est S(\,;) avec = -b{2a} et = f(). - a > 0 : parabole tournée vers le haut (vallée) → est le minimum ; - a < 0 : parabole tournée vers le bas (colline) → est le maximum. Dans les deux cas, l'extremum vaut et est atteint en .
2. Étape 2 : a) Ici a = 3, b = -12, c = 7. = -b{2a} = --12{2 3} = 12{6} = 2. Puis = f(2) = 3 2^2 - 12 2 + 7 = 12 - 24 + 7 = -5.

   S(2 ; -5)

3. Étape 3 : b) a = 3 > 0, donc la parabole est tournée vers le haut : f admet un minimum. Ce minimum vaut -5, et il est atteint en x = 2. Autrement dit : pour tout réel x, f(x) -5, avec égalité seulement en x = 2.

   f = f(2) = -5

4. Étape 4 : Le lien avec la forme canonique, qui n'est pas un hasard : c'est le même objet vu autrement. Avec = 2 et = -5 qu'on vient de calculer, la forme canonique s'écrit directement : [formule] Contrôle en développant : 3(x^2 - 4x + 4) - 5 = 3x^2 - 12x + 12 - 5 = 3x^2 - 12x + 7 ✓ Sous cette forme, le minimum devient évident sans aucune théorie : le carré (x-2)^2 est toujours positif ou nul, donc 3(x-2)^2 aussi, donc f(x) est toujours au-dessus de -5 — avec égalité seulement quand le carré s'annule, c'est-à-dire en x = 2. Un contrôle gratuit qui en découle : la symétrie. La parabole est symétrique par rapport à la droite verticale x = , donc deux abscisses également écartées de 2 donnent la même image : f(1) = 3 - 12 + 7 = -2 et f(3) = 27 - 36 + 7 = -2 ✓ Si ces deux valeurs différaient, c'est que serait faux.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Répondre « le minimum est 2 ». C'est l'abscisse du sommet, pas la valeur de l'extremum. Les deux nombres se suivent dans le calcul et se confondent facilement — mais f(2) = -5, et c'est -5 qui est le minimum. Autre erreur : oublier le signe moins de = -b{2a} et trouver = -2. Contrôle immédiat : f(-2) = 12 + 24 + 7 = 43, bien au-dessus de f(0) = 7 — un point aussi haut ne peut pas être le minimum d'une parabole tournée vers le haut. À retenir : Relis la question avant de répondre : « pour quelle valeur de x ? » appelle , « combien vaut le minimum ? » appelle = f(). Et pour lever tout doute sur le sens, une seule chose à regarder : le signe de a.