Résoudre une inéquation du second degré

Énoncé

Résoudre x^2 - 2x - 8 > 0.

Indice : Factorise, puis fais un tableau de signes.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Une inéquation du second degré ne se résout pas « en passant les termes de l'autre côté » : on ne sait rien faire d'une inégalité tant qu'un côté n'est pas 0. Ici c'est déjà le cas — il reste donc à étudier le signe du trinôme, et à lire les x pour lesquels il est strictement positif. La méthode, dans l'ordre : 1. Tout ramener d'un côté, pour comparer à 0. 2. Calculer et les racines. 3. Dresser le tableau de signes (signe de a à l'extérieur). 4. Lire l'ensemble des solutions, en soignant les crochets.
2. Étape 2 : Ici a = 1, b = -2, c = -8. = (-2)^2 - 4 1 (-8) = 4 + 32 = 36 > 0, donc = 6. x_1 = 2 - 6{2} = -2 et x_2 = 2 + 6{2} = 4.

   x_1 = -2, x_2 = 4

3. Étape 3 : Comme a = 1 > 0, le trinôme est positif à l'extérieur des racines : | x | - | | -2 | | 4 | | + | |---|---|---|---|---|---|---|---| | f(x) | | + | 0 | - | 0 | + | | Contrôle sur une valeur par zone : f(-3) = 9 + 6 - 8 = 7 > 0, f(0) = -8 < 0, f(5) = 25 - 10 - 8 = 7 > 0 ✓
4. Étape 4 : On cherche f(x) > 0, strictement : les racines sont donc exclues, et les crochets sont ouverts. [formule]

   S = \;]- ; -2[ \;\; ]4 ; +[

5. Étape 5 : L'erreur classique : Répondre S = \;]-2\,;4[, c'est-à-dire donner la zone où le trinôme est négatif. Le tableau contient les deux réponses : il faut relire l'inéquation avant d'en extraire l'ensemble. Autre erreur, plus discrète : écrire [-\,;-2] avec des crochets fermés. L'inégalité est stricte (>), donc -2 et 4 — où le trinôme vaut 0 — ne sont pas solutions. Et un crochet n'est jamais fermé sur l'infini. À retenir : Le tableau de signes est le même quelle que soit l'inéquation (> 0, < 0, 0…) : seule la lecture change. Fais donc toujours le tableau en entier, puis relis l'énoncé pour choisir les zones et les crochets.