Signe d'un trinôme

Énoncé

Étudier le signe de f(x) = -x^2 + 4x - 3.

Indice : Calcule les racines, puis utilise la règle : « signe de a sauf entre les racines ».

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. « Étudier le signe » veut dire : dire, pour chaque valeur de x, si f(x) est positif, négatif ou nul. La réponse attendue est donc un tableau de signes, pas une phrase. Deux informations suffisent : les racines, et le signe de a. Ici a = -1 < 0, donc la parabole est une colline — le signe sera positif ENTRE les racines. Signe d'un trinôme : Quand > 0, le trinôme ax^2 + bx + c a le signe de a à l'extérieur des racines, et le signe opposé entre les racines. Il s'annule en x_1 et x_2. Quand 0, il garde le signe de a partout (et s'annule une fois si = 0).
2. Étape 2 : Ici a = -1, b = 4, c = -3. = 4^2 - 4 (-1) (-3) = 16 - 12 = 4 > 0, donc = 2 et il y a deux racines. x_1 = -4 + 2{2 (-1)} = -2{-2} = 1 et x_2 = -4 - 2{-2} = -6{-2} = 3.

   x_1 = 1, x_2 = 3

3. Étape 3 : Comme a = -1 < 0, le trinôme est négatif à l'extérieur de [1\,;3] et positif entre 1 et 3 : | x | - | | 1 | | 3 | | + | |---|---|---|---|---|---|---|---| | f(x) | | - | 0 | + | 0 | - | | On peut le contrôler sur une valeur de chaque zone : f(0) = -3 < 0, f(2) = -4 + 8 - 3 = 1 > 0, f(4) = -16 + 16 - 3 = -3 < 0 ✓
4. Étape 4 : Conclusion. - f(x) > 0 pour x \;]1\,;3[ ; - f(x) = 0 pour x = 1 et x = 3 ; - f(x) < 0 pour x \;]-\,;1[ \;\; ]3\,;+[.

   f(x) 0 x [1 ; 3]

5. Étape 5 : L'erreur classique : Réciter « positif à l'extérieur, négatif entre les racines » sans regarder a. C'est vrai pour a > 0 seulement, et ici a = -1 : tout est inversé. Une réponse f(x) 0 sur ]-\,;1] [3\,;+[ est exactement le contraire de la bonne. Second piège, sur les racines : le dénominateur 2a vaut -2, pas 2. Diviser par -2 change le signe du numérateur. À retenir : Plutôt que de réciter la règle, dessine la parabole en cinq secondes : orientation donnée par le signe de a, deux points sur l'axe aux racines. Le signe se lit sur le dessin, et un dessin ne s'inverse pas par distraction. Contrôle final : teste une valeur par zone.