Factoriser un trinôme

Énoncé

Factoriser f(x) = x^2 - 5x + 6.

Indice : Trouve les racines puis écris f(x) = a(x-x_1)(x-x_2).

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Factoriser un trinôme et chercher ses racines, c'est le même travail : les racines sont ce qui annule chaque facteur. On calcule donc , on trouve les racines, et la factorisation s'écrit toute seule. Factorisation d'un trinôme : Si > 0, avec x_1 et x_2 les racines : ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2). Si = 0 : a(x - x_0)^2. Si < 0 : aucune factorisation de ce type n'existe.
2. Étape 2 : Ici a = 1, b = -5, c = 6. = (-5)^2 - 4 1 6 = 25 - 24 = 1, donc = 1 et il y a deux racines. x_1 = 5 - 1{2} = 2 et x_2 = 5 + 1{2} = 3.

   x_1 = 2, x_2 = 3

3. Étape 3 : Comme a = 1, la factorisation est : [formule] Contrôle en développant : (x-2)(x-3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6 ✓

   f(x) = (x - 2)(x - 3)

4. Étape 4 : Une méthode plus rapide quand a = 1, et elle mérite d'être connue parce qu'elle sert tout le temps. Si le trinôme x^2 + bx + c a deux racines x_1 et x_2, alors : [formule] Ici on cherche donc deux nombres dont la somme vaut 5 et le produit 6. En essayant les diviseurs de 6 : 1 et 6 font 7 — non ; 2 et 3 font 5 — oui. Les racines sont 2 et 3, trouvées de tête. ⚠️ Cette méthode ne remplace pas le discriminant : elle ne marche que si les racines sont des entiers simples, et elle ne prouve rien quand on ne trouve pas. Dès qu'on sèche plus de dix secondes, on repasse à . Et à quoi sert la forme factorisée ? À lire le signe. Sur (x-2)(x-3), chaque facteur change de signe à sa racine : le produit est donc positif avant 2, négatif entre 2 et 3, positif après 3. Aucune de ces informations ne se lit sur x^2 - 5x + 6.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Écrire f(x) = (x + 2)(x + 3) en recopiant les racines telles quelles. Le facteur associé à la racine 2 est (x - 2), car c'est lui qui s'annule en 2. Le test qui tranche : (x+2)(x+3) s'annule en -2 et -3, et en développant on obtiendrait x^2 + 5x + 6 — pas le trinôme demandé. À retenir : Ne lis jamais une racine directement dans une parenthèse. Pose « facteur = 0 » et résous : x - 3 = 0 donne x = 3. Et n'oublie pas le a devant quand a 1 : pour 2x^2 - 10x + 12, la factorisation est 2(x-2)(x-3).