Forme canonique

Énoncé

Écrire f(x) = x^2 + 4x - 5 sous forme canonique.

Indice : = -b{2a} et = f().

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. La forme canonique n'est pas une écriture de plus pour le plaisir : c'est celle où le sommet se lit directement. Une fois f(x) = a(x - )^2 + obtenue, on connaît sans autre calcul le sommet, le sens de variation et l'extremum. Forme canonique : Pour f(x) = ax^2 + bx + c : [formule] Le sommet de la parabole est le point S(\,;).
2. Étape 2 : Ici a = 1, b = 4, c = -5. = -b{2a} = -4{2 1} = -2. Le dénominateur est bien 2a, et non a : le facteur 2 fait partie de la formule.

   = -2

3. Étape 3 : On calcule en remplaçant x par dans f — on ne le devine pas : = f(-2) = (-2)^2 + 4 (-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9.

   = -9

4. Étape 4 : Comme a = 1 et = -2, le facteur s'écrit (x - (-2))^2 = (x + 2)^2 : [formule] Contrôle en développant : (x+2)^2 - 9 = x^2 + 4x + 4 - 9 = x^2 + 4x - 5 ✓ — on retombe bien sur le trinôme de départ.

   f(x) = (x + 2)^2 - 9

5. Étape 5 : Ce que la forme canonique donne en plus, et qu'on oublie souvent. Elle se lit comme un déplacement. f(x) = (x + 2)^2 - 9 décrit la parabole de référence y = x^2, déplacée de 2 vers la gauche et de 9 vers le bas. Le sommet, initialement à l'origine, se retrouve donc en (-2\,;\,-9) — ce qui est exactement le couple (\,;\,). ⚠️ Le sens du déplacement horizontal surprend : (x + 2)^2 décale vers la gauche, pas vers la droite. La raison est qu'il faut désormais x = -2 pour annuler la parenthèse, là où x = 0 suffisait avant. Elle permet aussi de résoudre, sans discriminant : (x+2)^2 - 9 = 0 (x+2)^2 = 9 x + 2 = 3 \ ou \ x + 2 = -3 d'où x = 1 ou x = -5. On vérifie : 1 + 4 - 5 = 0 ✓ et 25 - 20 - 5 = 0 ✓.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Prendre = c = -5, « puisque c'est la constante ». C'est faux : est la valeur de f au sommet, pas en 0. Ici f(0) = -5 et f(-2) = -9 : deux points différents de la parabole. Autre piège, sur le signe : = -2 donne (x + 2)^2, pas (x - 2)^2. La forme est (x - )^2, donc soustraire un nombre négatif revient à l'ajouter. À retenir : Le développement est ta vérification gratuite : si a(x-)^2 + ne redonne pas le trinôme de départ, l'erreur est dans ou dans , et tu le sais avant d'avoir rendu ta copie.