Résoudre une équation du second degré

Énoncé

Résoudre 2x^2 - 7x + 3 = 0.

Indice : Calcule puis utilise la formule.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Le trinôme ne se factorise pas de tête (pas d'identité remarquable, pas de facteur commun) : on passe donc par la méthode générale, qui marche toujours. Elle se fait dans cet ordre, et l'ordre compte — la formule des racines contient , elle n'a de sens qu'une fois connu et positif. Résoudre ax^2 + bx + c = 0 : On calcule = b^2 - 4ac, puis, si > 0 : [formule] Si = 0, l'unique racine est x_0 = -b{2a}. Si < 0, il n'y a pas de solution réelle.
2. Étape 2 : Ici a = 2, b = -7, c = 3. = (-7)^2 - 4 2 3 = 49 - 24 = 25. > 0 : il y a donc deux racines, et = 25 = 5.

   = 25, = 5

3. Étape 3 : Comme b = -7, on a -b = +7. On calcule séparément le numérateur de chaque racine pour ne pas perdre ce signe : [formule]

   S = \{1{2} ; 3\}

4. Étape 4 : Vérification (30 secondes, et elle attrape la plupart des fautes de signe) : 2 (1{2})^2 - 7 1{2} + 3 = 1{2} - 7{2} + 3 = -3 + 3 = 0 ✓ 2 3^2 - 7 3 + 3 = 18 - 21 + 3 = 0 ✓
5. Étape 5 : Un second contrôle, indépendant du premier. Les deux racines d'un trinôme sont liées à ses coefficients par deux relations : [formule] Vérifions avec nos racines 1{2} et 3 : Somme : 1{2} + 3 = 7{2}, et -b{a} = 7{2} ✓ Produit : 1{2} 3 = 3{2}, et c{a} = 3{2} ✓ Ce contrôle est plus rapide que la substitution, et il a un avantage : il teste les deux racines d'un coup. Si l'on avait interverti un signe, la somme ne tomberait pas juste.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Écrire x = -7 5{4} et trouver -3 et -1{2}. La formule commence par -b, pas par b : avec b = -7, cela donne -(-7) = +7. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle ne se voit pas au résultat — deux nombres sortent quand même. Seule la vérification la révèle : 2 (-3)^2 - 7 (-3) + 3 = 18 + 21 + 3 = 42 0. À retenir : Quand b est négatif, écris la ligne -b = séparément avant la fraction. Et vérifie systématiquement tes racines dans l'équation de départ : c'est le seul contrôle qui ne dépend pas du calcul que tu viens de faire.