Calculer le discriminant

Énoncé

Calculer le discriminant et déterminer le nombre de racines : a) x^2 - 6x + 9 b) 2x^2 + 3x - 5 c) x^2 + x + 1

Indice : = b^2 - 4ac.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. On ne demande pas les racines, seulement combien il y en a. C'est exactement ce que répond, et il coûte un seul calcul : inutile de se lancer dans la formule des racines pour s'apercevoir ensuite qu'il n'y en a pas. Le discriminant : Pour ax^2 + bx + c avec a 0, on pose = b^2 - 4ac. - > 0 : deux racines distinctes ; - = 0 : une racine double ; - < 0 : aucune racine réelle. Image à garder : compte les points où la parabole traverse l'axe des abscisses.
2. Étape 2 : a) x^2 - 6x + 9 : ici a = 1, b = -6, c = 9. = (-6)^2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0. Donc une racine double, car = 0.

   = 0 \ \ une racine double

3. Étape 3 : b) 2x^2 + 3x - 5 : ici a = 2, b = 3, c = -5. = 3^2 - 4 2 (-5) = 9 + 40 = 49. Attention au double signe : -4ac = -4 2 (-5) = +40, car c est négatif. Donc deux racines distinctes, puisque > 0.

   = 49 > 0 \ \ deux racines

4. Étape 4 : c) x^2 + x + 1 : ici a = 1, b = 1, c = 1. = 1^2 - 4 1 1 = 1 - 4 = -3. Donc aucune racine réelle, car < 0 : la parabole ne touche jamais l'axe des abscisses.

   = -3 < 0 \ \ aucune racine

5. Étape 5 : Un cas particulier qui vaut d'être vu. Le trinôme de la question a) est en réalité une identité remarquable : x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 On le reconnaît à ce que 9 = 3^2 et 6 = 2 3. Sous cette forme, la conclusion est immédiate sans aucun discriminant : (x-3)^2 ne s'annule que pour x = 3, et c'est bien une racine double. Ce n'est pas une méthode de rechange, c'est un éclairage : = 0 signifie toujours que le trinôme est un carré parfait, à un facteur a près. La racine double vaut alors -b{2a} = 6{2} = 3 — le même 3. 👉 Prendre trois secondes pour chercher une identité remarquable avant de calculer fait gagner du temps une fois sur cinq, et donne en prime la racine.
6. Étape 6 : L'erreur classique : En b), écrire = 9 - 40 = -31 et conclure « aucune racine ». C'est le signe de c qu'on a perdu : -4ac avec c = -5 ajoute 40, il ne le retranche pas. Le même piège en a) : b = -6 donc b^2 = (-6)^2 = +36, jamais -36. Un carré n'est jamais négatif. À retenir : Écris toujours a = , b = , c = avec leurs signes, sur une ligne à part, avant de remplacer dans = b^2 - 4ac. Les deux erreurs ci-dessus naissent toutes les deux d'un signe lu trop vite dans le trinôme.