Conjecturer une limite : un traitement médical
Énoncé
Un patient prend chaque matin un comprimé contenant 10 mg d'un médicament. On admet qu'au cours d'une journée, son organisme élimine 20 % de la quantité de médicament présente. On note uₙ la quantité de médicament, en mg, présente dans l'organisme juste après la prise du n-ième comprimé ; ainsi u₁ = 10.
a) Justifier que, pour tout n ≥ 1, uₙ₊₁ = 0,8 uₙ + 10.
b) Calculer u₂, u₃ et u₄.
c) Un programme donne les valeurs suivantes, arrondies au centième.
| n | 5 | 10 | 15 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|
| uₙ | 33,62 | 44,63 | 48,24 | 49,42 | 49,94 |
Quelle conjecture peut-on faire sur la quantité de médicament quand n devient grand ?
d) Montrer que, pour tout n ≥ 1, 50 - uₙ₊₁ = 0,8 (50 - uₙ). Expliquer pourquoi ce résultat confirme la conjecture.
e) Approfondissement. On pose eₙ = 50 - uₙ. Montrer que la suite (eₙ) est géométrique, puis exprimer uₙ en fonction de n.
Indice : Éliminer 20 %, c'est garder 80 % de la quantité présente ; le lendemain matin, on ajoute la nouvelle dose.
Correction
- Étape 1 : Ce qu'il faut voir. La suite n'est ni arithmétique (on ne fait pas qu'ajouter) ni géométrique (on ne fait pas que multiplier) : on ne connaît pas de formule pour elle. Pour savoir ce que devient la quantité à long terme, on calcule des termes, on lit un tableau, et l'on conjecture. Puis on cherche une raison qui explique ce qu'on a vu.
L'idée de limite :
Dire que les termes d'une suite se rapprochent d'un nombre ℓ, c'est dire que l'écart entre uₙ et ℓ devient aussi petit qu'on veut quand n devient grand. En Première, on le conjecture sur des valeurs, sans définition formelle.
- Étape 2 : a) Juste après la prise du n-ième comprimé, il y a uₙ mg de médicament. Pendant la journée, l'organisme en élimine 20 % : il en reste 80 %, c'est-à-dire 0,8 uₙ (le coefficient multiplicateur d'une baisse de 20 % est 1 - 0,2 = 0,8). Le lendemain matin, le patient prend un nouveau comprimé de 10 mg :
uₙ₊₁ = 0,8 uₙ + 10
uₙ₊₁ = 0,8 uₙ + 10
- Étape 3 : b) On applique la relation de proche en proche, à partir de u₁ = 10 :
u₂ = 0,8 × 10 + 10 = 8 + 10 = 18
u₃ = 0,8 × 18 + 10 = 14,4 + 10 = 24,4
u₄ = 0,8 × 24,4 + 10 = 19,52 + 10 = 29,52
La quantité augmente, mais de moins en moins : +8, puis +6,4, puis +5,12.
u₂ = 18 u₃ = 24,4 u₄ = 29,52
- Étape 4 : c) Les valeurs augmentent, mais elles restent sous 50 et s'en approchent de plus en plus : 49,42 au 20e jour, 49,94 au 30e.
Conjecture : quand n devient grand, la quantité de médicament se rapproche de 50 mg, sans dépasser 50 mg.
Ce nombre a un sens : avec 50 mg dans l'organisme, l'élimination d'une journée vaut 20 % de 50, soit exactement 10 mg, autant que la dose. C'est la quantité qui ne bouge plus d'un jour à l'autre : 0,8 × 50 + 10 = 50.
- Étape 5 : d) On exprime l'écart à 50 au rang n + 1 à l'aide de a) :
50 - uₙ₊₁ = 50 - (0,8 uₙ + 10) = 40 - 0,8 uₙ = 0,8 (50 - uₙ)
On vérifie la dernière égalité en développant : 0,8 × 50 - 0,8 uₙ = 40 - 0,8 uₙ.
Ainsi l'écart à 50 est multiplié par 0,8 chaque jour : il diminue de 20 % par jour. Il part de 50 - u₁ = 40, puis vaut 32, 25,6, 20,48… Il reste positif, donc uₙ reste sous 50, et il devient aussi petit qu'on veut : après 30 jours, il ne vaut plus que 0,06 mg environ. C'est exactement ce que dit la conjecture.
50 - uₙ₊₁ = 0,8 (50 - uₙ)
- Étape 6 : e) Approfondissement. D'après d), eₙ₊₁ = 50 - uₙ₊₁ = 0,8 (50 - uₙ) = 0,8 eₙ pour tout n ≥ 1 : la suite (eₙ) est géométrique de raison 0,8, de premier terme e₁ = 50 - 10 = 40.
Son premier terme étant e₁ (et non e₀), sa formule explicite est eₙ = e₁ × 0,8 ⁿ⁻¹ = 40 × 0,8 ⁿ⁻¹. Donc :
uₙ = 50 - 40 × 0,8 ⁿ⁻¹
Contrôle : u₁ = 50 - 40 = 10 et u₂ = 50 - 40 × 0,8 = 18, comme en b).
uₙ = 50 - 40 × 0,8 ⁿ⁻¹
- Étape 7 : L'erreur classique :
Conclure que la quantité augmente sans fin parce que la suite est croissante. Une suite croissante peut très bien rester sous un nombre : ici elle croît, mais ne dépasse jamais 50 mg. L'autre piège est dans la mise en équation : écrire uₙ₊₁ = 0,2 uₙ + 10 (la part éliminée au lieu de la part qui reste) conduirait à une quantité qui se rapproche de 12,5 mg, un résultat faux.
À retenir :
Un tableau de valeurs suggère une limite ; une raison la confirme. Ici la raison est l'écart à 50, qui est multiplié par 0,8 à chaque étape. Et le nombre vers lequel la suite se rapproche vérifie ℓ = 0,8 ℓ + 10 : c'est la quantité qui reste stable d'un jour à l'autre.