Un dénombrement : les diagonales d'un polygone

Énoncé

Une diagonale d'un polygone convexe est un segment qui joint deux sommets non consécutifs. Pour n ≥ 3, on note dₙ le nombre de diagonales d'un polygone convexe à n sommets. a) Vérifier que d₃ = 0, d₄ = 2 et d₅ = 5. b) Chaque sommet est relié par une diagonale à tous les autres sommets, sauf à ses deux voisins. En déduire que dₙ = (n(n - 3))/2. c) On ajoute un sommet P à un polygone à n sommets, entre deux sommets voisins A et B, de façon que le nouveau polygone reste convexe. Justifier que dₙ₊₁ = dₙ + n - 1. d) Calculer d₁₀ de deux façons.

Indice : En b), compte les extrémités : chaque diagonale a deux extrémités. En c), regarde ce que devient le côté [AB], et combien de diagonales partent de P.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. On ne dessine pas un polygone à 100 sommets pour compter ses diagonales : on cherche une règle. Comme pour un motif, il y a deux façons de faire. Compter directement les diagonales du polygone à n sommets donne une formule explicite ; regarder ce que l'ajout d'un sommet change donne une relation de récurrence. Compter des paires : Quand chaque objet compté a deux extrémités, compter « par extrémité » compte chaque objet deux fois : il faut diviser par 2.
2. Étape 2 : a) Un triangle n'a que des sommets consécutifs : d₃ = 0. Un quadrilatère ABCD a deux diagonales, [AC] et [BD] : d₄ = 2. Un pentagone ABCDE a les diagonales [AC], [AD], [BD], [BE] et [CE] : d₅ = 5.
3. Étape 3 : b) Chacun des n sommets est relié par une diagonale à tous les autres sommets sauf ses deux voisins, c'est-à-dire à n - 1 - 2 = n - 3 sommets. En additionnant sur les n sommets, on obtient n(n - 3). Mais chaque diagonale a été comptée deux fois, une fois depuis chacune de ses deux extrémités. Donc : dₙ = (n(n - 3))/2 Contrôle : d₄ = (4 × 1)/2 = 2 et d₅ = (5 × 2)/2 = 5, comme en a).

   dₙ = (n(n-3))/2

4. Étape 4 : c) On compare les diagonales avant et après l'ajout de P entre A et B. - Les anciennes diagonales relient toujours deux sommets non consécutifs : elles restent des diagonales. - Le segment [AB] était un côté ; A et B ne sont plus voisins (le sommet P est entre eux) : [AB] devient une diagonale. Cela fait 1 diagonale de plus. - Le nouveau sommet P a pour voisins A et B : il est relié par une diagonale aux n - 2 autres anciens sommets. Au total, dₙ₊₁ = dₙ + 1 + (n - 2) = dₙ + n - 1. Contrôle : d₄ = d₃ + 2 = 2 et d₅ = d₄ + 3 = 5.

   dₙ₊₁ = dₙ + n - 1

5. Étape 5 : d) Par la formule explicite : d₁₀ = (10 × 7)/2 = 35. Par la relation de récurrence, à partir de d₅ = 5 : d₆ = 5 + 4 = 9, d₇ = 9 + 5 = 14, d₈ = 14 + 6 = 20, d₉ = 20 + 7 = 27, d₁₀ = 27 + 8 = 35. Les deux méthodes donnent le même résultat : un décagone convexe a 35 diagonales. La formule explicite est plus rapide pour un grand n ; la récurrence oblige à passer par tous les rangs.

   d₁₀ = 35

6. Étape 6 : L'erreur classique : Oublier de diviser par 2, et répondre dₙ = n(n - 3) : chaque diagonale est alors comptée deux fois. La formule donnerait d₄ = 4, alors qu'un carré n'a que 2 diagonales. En c), l'erreur la plus fréquente est d'oublier que le côté [AB] devient une diagonale, et d'écrire dₙ₊₁ = dₙ + n - 2 : on trouverait d₄ = d₃ + 1 = 1. À retenir : Pour une question de dénombrement, chercher les deux descriptions : un comptage direct (formule explicite) et l'effet d'un élément ajouté (relation de récurrence). Les contrôler l'une par l'autre sur les petits cas, qu'on sait compter à la main.