Un motif géométrique : les nombres carrés

Énoncé

On construit des carrés avec des carreaux identiques : la figure 1 compte un seul carreau, la figure 2 est un carré de 2 × 2 carreaux, la figure 3 un carré de 3 × 3 carreaux, et ainsi de suite. On note cₙ le nombre de carreaux de la figure n. a) Donner c₁, c₂, c₃ et c₄. b) Pour passer de la figure n à la figure n + 1, on pose une bande en équerre le long de deux côtés du carré. Combien de carreaux contient cette bande ? En déduire une relation de récurrence vérifiée par (cₙ), et le nombre de carreaux à ajouter pour passer de la figure 9 à la figure 10. c) La suite (cₙ) est-elle arithmétique ? géométrique ? d) Donner la formule explicite de cₙ. En comparant avec la question b), en déduire la valeur de la somme 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2n - 1) des n premiers nombres impairs.

Indice : La figure n + 1 est un carré de côté n + 1 : la bande ajoutée est formée d'une colonne et d'une rangée, qui se partagent un carreau d'angle.

Correction

1. Étape 1 : Ce qu'il faut voir. Une même figure se compte de deux façons, et chacune donne une description de la suite. Regarder ce qu'on ajoute d'une figure à la suivante donne une relation de récurrence ; compter directement les carreaux de la figure n donne une formule explicite. Comparer les deux fait apparaître un résultat qu'aucune des deux ne montre seule. Deux façons de décrire une suite : Une relation de récurrence exprime cₙ₊₁ en fonction de cₙ ; une formule explicite exprime cₙ en fonction de n. Une relation lue sur un dessin se contrôle sur les premières figures, qu'on sait compter une à une.
2. Étape 2 : a) La figure n est un carré de n rangées de n carreaux : c₁ = 1, c₂ = 2 × 2 = 4, c₃ = 3 × 3 = 9, c₄ = 4 × 4 = 16.

   c₁ = 1 c₂ = 4 c₃ = 9 c₄ = 16

3. Étape 3 : b) La figure n + 1 est un carré de côté n + 1. On l'obtient à partir du carré de côté n en ajoutant : - une colonne de n + 1 carreaux le long d'un côté (elle va jusqu'au coin) ; - une rangée de n carreaux le long de l'autre côté (le carreau du coin est déjà posé). La bande contient donc (n + 1) + n = 2n + 1 carreaux, d'où la relation : cₙ₊₁ = cₙ + 2n + 1, c₁ = 1 Contrôle sur les figures de la question a) : c₂ = 1 + 3 = 4, c₃ = 4 + 5 = 9, c₄ = 9 + 7 = 16. Pour passer de la figure 9 à la figure 10, on prend n = 9 : il faut ajouter 2 × 9 + 1 = 19 carreaux. Contrôle : 10 × 10 - 9 × 9 = 100 - 81 = 19.

   cₙ₊₁ = cₙ + 2n + 1

4. Étape 4 : c) Les écarts entre deux termes consécutifs sont c₂ - c₁ = 3, c₃ - c₂ = 5, c₄ - c₃ = 7 : ils ne sont pas constants, donc la suite n'est pas arithmétique. On le voit aussi sur la relation : on ajoute 2n + 1, une quantité qui dépend de n. Les quotients sont (c₂)/(c₁) = 4 et (c₃)/(c₂) = 9/4 : ils ne sont pas égaux, donc la suite n'est pas géométrique. Aucune formule toute faite du cours ne s'applique : c'est la figure qui fournit les deux descriptions.
5. Étape 5 : d) La figure n compte n rangées de n carreaux, donc cₙ = n². D'autre part, on obtient cₙ en partant de c₁ = 1 et en ajoutant, figure après figure, les bandes successives : cₙ = c₁ + (c₂ - c₁) + (c₃ - c₂) + ⋯ + (cₙ - cₙ₋₁) Les termes intermédiaires s'éliminent deux à deux, comme dans la démonstration du terme général d'une suite arithmétique. D'après b), les bandes contiennent 3, 5, …, et la dernière 2(n - 1) + 1 = 2n - 1 carreaux. Donc : 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2n - 1) = n² Contrôle : 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4². Et pour n = 50 : 1 + 3 + ⋯ + 99 = 50² = 2 500, le résultat de l'exercice sur la somme des nombres impairs, retrouvé ici sans formule de somme.

   1 + 3 + 5 + ⋯ + (2n - 1) = n²

6. Étape 6 : L'erreur classique : Compter la bande comme deux côtés de n + 1 carreaux, soit 2n + 2 : le carreau du coin est alors compté deux fois. La relation cₙ₊₁ = cₙ + 2n + 2 donnerait c₂ = 1 + 4 = 5, alors que la figure 2 compte 4 carreaux. L'erreur inverse, 2n, oublie le coin et donne c₂ = 3. À retenir : Une relation lue sur un dessin se vérifie toujours sur deux ou trois figures qu'on compte une à une : c'est le contrôle qui attrape les éléments comptés deux fois. Et compter une même figure de deux façons est une méthode de démonstration à part entière : elle vient de prouver que la somme des n premiers impairs vaut n².