Sens de variation d'une suite

Énoncé

Soit la suite (u_n) définie pour tout n N par u_n = n^2 - 10n + 30. a) Calculer u_0, u_1, u_5 et u_6. b) Calculer u_{n+1} - u_n en fonction de n. c) En déduire le sens de variation de (u_n). d) Quel est le terme minimum de la suite ?

Indice : Développe u_{n+1} = (n+1)^2 - 10(n+1) + 30 puis fais la différence avec u_n.

Correction

1. Étape 1 : Même méthode qu'au sens de variation classique — étudier le signe de u_{n+1} - u_n — mais l'exercice va plus loin : il demande le minimum, et c'est là que se cache la difficulté. Du signe de la différence au minimum : Le signe de u_{n+1} - u_n dit si l'on monte ou si l'on descend d'un rang au suivant. Le minimum est atteint au rang où le sens change, c'est-à-dire juste après la dernière descente.
2. Étape 2 : a) On remplace n par chacune des valeurs demandées : u_0 = 0 - 0 + 30 = 30 u_1 = 1 - 10 + 30 = 21 u_5 = 25 - 50 + 30 = 5 u_6 = 36 - 60 + 30 = 6 On voit déjà que la suite descend puis remonte : u_6 est plus grand que u_5.

   u_0 = 30 u_1 = 21 u_5 = 5 u_6 = 6

3. Étape 3 : b) On écrit le terme de rang n+1 en remplaçant n par n+1 partout : u_{n+1} = (n+1)^2 - 10(n+1) + 30 = n^2 + 2n + 1 - 10n - 10 + 30 = n^2 - 8n + 21 Puis on soustrait u_n, en pensant aux parenthèses : u_{n+1} - u_n = (n^2 - 8n + 21) - (n^2 - 10n + 30) = n^2 - 8n + 21 - n^2 + 10n - 30 = 2n - 9

   u_{n+1} - u_n = 2n - 9

4. Étape 4 : c) On étudie le signe de 2n - 9 : 2n - 9 < 0 n < 4{,}5, soit n \{0, 1, 2, 3, 4\} Pour ces cinq rangs la différence est négative, donc chaque terme est plus petit que le précédent : u_1 < u_0, u_2 < u_1, u_3 < u_2, u_4 < u_3 et u_5 < u_4. La suite décroît de u_0 jusqu'à u_5. 2n - 9 > 0 n > 4{,}5, soit n 5 Pour ces rangs la différence est positive : u_6 > u_5, u_7 > u_6, etc. La suite croît à partir de u_5.

   Décroissante jusqu'à u_5, puis croissante

5. Étape 5 : d) Le sens change au rang 5 : c'est là que le minimum est atteint. u_5 = 5^2 - 10 5 + 30 = 25 - 50 + 30 = 5 On le confirme avec les deux voisins : u_4 = 16 - 40 + 30 = 6 et u_6 = 6. Le terme de rang 5 est bien inférieur aux deux — et la suite est même symétrique autour de lui : 30, 21, 14, 9, 6, 5, 6, 9, 14…

   (u_n) = u_5 = 5

6. Étape 6 : L'erreur classique : Lire « 2n - 9 < 0 pour n 4 » et en conclure que la suite décroît jusqu'au rang 4, donc que le minimum est u_4. C'est décalé d'un rang : la différence u_5 - u_4 correspond à n = 4, elle est donc encore négative, et u_5 est bien plus petit que u_4. La décroissance va jusqu'au rang 5, et le minimum vaut 5 et non 6. À retenir : Quand la différence s'annule en une valeur non entière, ne devine pas : compare les deux termes voisins. Ici u_4 = 6 et u_5 = 5, donc le minimum est u_5 — un calcul de deux secondes qui lève tout le doute. Et souviens-toi que u_{n+1} - u_n décrit le pas entre les rangs n et n+1, pas le terme de rang n.