Sens de variation d'une suite

Énoncé

Soit la suite (u_n) définie pour tout n N par u_n = n^2 - 10n + 30. a) Calculer u_0, u_1, u_5 et u_6. b) Calculer u_{n+1} - u_n en fonction de n. c) En déduire le sens de variation de (u_n). d) Quel est le terme minimum de la suite ?

Indice : Développe u_{n+1} = (n+1)^2 - 10(n+1) + 30 puis fais la différence avec u_n.

Correction

  1. Étape 1 : **a)** u_0 = 0 - 0 + 30 = 30, u_1 = 1 - 10 + 30 = 21, u_5 = 25 - 50 + 30 = 5, u_6 = 36 - 60 + 30 = 6.
  2. Étape 2 : **b)** u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 10(n+1) + 30 - (n^2 - 10n + 30) = n^2 + 2n + 1 - 10n - 10 + 30 - n^2 + 10n - 30 = 2n - 9.
  3. Étape 3 : **c)** u_{n+1} - u_n = 2n - 9. - Si 2n - 9 < 0, soit n < 4{,}5 : la suite est **décroissante** pour n 4. - Si 2n - 9 > 0, soit n > 4{,}5 : la suite est **croissante** à partir de n 5.
  4. Étape 4 : **d)** La suite décroît jusqu'à n = 4 puis croît à partir de n = 5. Le minimum est atteint en n = 5 : u_5 = 25 - 50 + 30 = 5.

    (u_n) = u_5 = 5