Remboursement d'emprunt

Énoncé

Marc emprunte 12 000 € pour acheter une voiture. Il rembourse 250 € par mois sur le capital (on ne tient pas compte des intérêts dans cet exercice simplifié). On note R_n le capital restant dû après n mois. a) Exprimer R_n en fonction de n. Quelle est la nature de cette suite ? b) Au bout de combien de mois Marc a-t-il remboursé la moitié de son emprunt ? c) Au bout de combien de mois a-t-il fini de rembourser ? d) Calculer la somme totale versée. Comparer avec le montant emprunté.

Indice : R_n = R_0 - 250n. La moitié correspond à R_n = 6\,000 et le remboursement total à R_n = 0.

Correction

1. Étape 1 : **a)** R_{n+1} = R_n - 250 avec R_0 = 12\,000. C'est une suite **arithmétique** de raison r = -250. Formule : R_n = 12\,000 - 250n.
2. Étape 2 : **b)** R_n = 6\,000 12\,000 - 250n = 6\,000 250n = 6\,000 n = 24. Marc a remboursé la moitié après **24 mois** (2 ans).
3. Étape 3 : **c)** R_n = 0 12\,000 - 250n = 0 n = 48. Marc a fini de rembourser après **48 mois** (4 ans).
4. Étape 4 : **d)** Somme versée : 48 250 = 12\,000 €. C'est exactement le montant emprunté (pas d'intérêts dans ce modèle simplifié).

   Somme versée = 12\,000 €