Remboursement d'emprunt

Énoncé

Marc emprunte 12 000 € pour acheter une voiture. Il rembourse 250 € par mois sur le capital (on ne tient pas compte des intérêts dans cet exercice simplifié). On note R_n le capital restant dû après n mois. a) Exprimer R_n en fonction de n. Quelle est la nature de cette suite ? b) Au bout de combien de mois Marc a-t-il remboursé la moitié de son emprunt ? c) Au bout de combien de mois a-t-il fini de rembourser ? d) Calculer la somme totale versée. Comparer avec le montant emprunté.

Indice : R_n = R_0 - 250n. La moitié correspond à R_n = 6\,000 et le remboursement total à R_n = 0.

Correction

1. Étape 1 : Un remboursement de 250 € par mois est une somme fixe, retirée à chaque période : la suite est donc arithmétique, avec une raison négative puisque le capital restant diminue. Suite arithmétique décroissante : Si l'on retire la même quantité a à chaque étape, la suite est arithmétique de raison r = -a : [formule] La raison porte son signe : c'est lui qui dit que la suite descend.
2. Étape 2 : a) Chaque mois, la dette diminue de 250 € : R_{n+1} = R_n - 250 avec R_0 = 12\,000 C'est une suite arithmétique de raison r = -250. Sa formule explicite est : R_n = 12\,000 - 250n Contrôle avec n = 1 : R_1 = 12\,000 - 250 = 11\,750 €. Après un mois, il reste bien 250 € de moins à rembourser.

   R_n = 12\,000 - 250n

3. Étape 3 : b) La moitié de l'emprunt représente 12\,000{2} = 6\,000 € encore dus : 12\,000 - 250n = 6\,000 -250n = 6\,000 - 12\,000 = -6\,000 n = -6\,000{-250} = 24 Marc a remboursé la moitié de son emprunt après 24 mois, soit 2 ans.

   n = 24 mois

4. Étape 4 : c) Le remboursement s'achève quand il ne reste plus rien à devoir : 12\,000 - 250n = 0 250n = 12\,000 n = 12\,000{250} = 48 Marc a fini de rembourser après 48 mois, soit 4 ans. La cohérence saute aux yeux : la moitié de la dette est remboursée à la moitié du temps (24 mois sur 48). C'est une propriété des suites arithmétiques — le rythme étant constant, temps et montant sont proportionnels.

   n = 48 mois

5. Étape 5 : d) Marc verse 250 € pendant 48 mois : 48 250 = 12\,000 € C'est exactement le montant emprunté. Ce qui est logique dans ce modèle : l'énoncé précise qu'on ne tient pas compte des intérêts, donc chaque euro versé efface un euro de dette. Dans la réalité, une banque prête contre rémunération : à 4\,\% par an sur quatre ans, Marc rembourserait de l'ordre de 13\,000 €, soit environ 1\,000 € de plus que la somme empruntée. C'est précisément cet écart que le modèle simplifié met de côté — et le savoir fait partie de la lecture critique d'un modèle.

   48 250 = 12\,000 €

6. Étape 6 : L'erreur classique : Écrire R_n = 12\,000 + 250n, en oubliant le signe de la raison. Le capital restant diminue : la raison est -250, pas 250. Avec le mauvais signe, on trouverait une dette qui grossit sans jamais s'éteindre, et l'équation R_n = 0 n'aurait aucune solution positive. À retenir : Avant de résoudre, demande-toi dans quel sens va la grandeur étudiée : un capital placé monte (raison positive, ou coefficient supérieur à 1), une dette remboursée descend (raison négative). Ce réflexe attrape l'erreur de signe avant même le premier calcul.