Algorithme de seuil

Énoncé

Soit la suite (u_n) définie par cases u_0 = 3 u_{n+1} = 2u_n - 1 cases. a) Calculer u_1, u_2, u_3, u_4 et u_5. b) Déterminer le plus petit entier n tel que u_n > 100. c) Déterminer le plus petit entier n tel que u_n > 1\,000.

Indice : Calcule chaque terme à partir du précédent : u_{n+1} = 2u_n - 1. Continue jusqu'à dépasser le seuil demandé.

Correction

1. Étape 1 : **a)** u_1 = 2(3) - 1 = 5, u_2 = 2(5) - 1 = 9, u_3 = 2(9) - 1 = 17, u_4 = 2(17) - 1 = 33, u_5 = 2(33) - 1 = 65.
2. Étape 2 : **b)** On continue : u_6 = 2(65) - 1 = 129 > 100. Le plus petit n tel que u_n > 100 est n = 6.
3. Étape 3 : **c)** u_7 = 2(129) - 1 = 257, u_8 = 513, u_9 = 1\,025 > 1\,000. Le plus petit n tel que u_n > 1\,000 est n = 9.

   n = 9