Algorithme de seuil

Énoncé

Soit la suite (u_n) définie par cases u_0 = 3 u_{n+1} = 2u_n - 1 cases. a) Calculer u_1, u_2, u_3, u_4 et u_5. b) Déterminer le plus petit entier n tel que u_n > 100. c) Déterminer le plus petit entier n tel que u_n > 1\,000.

Indice : Calcule chaque terme à partir du précédent : u_{n+1} = 2u_n - 1. Continue jusqu'à dépasser le seuil demandé.

Correction

1. Étape 1 : La suite est définie par récurrence et aucune formule explicite n'est donnée : pour connaître u_6, il faut passer par tous les termes précédents. On calcule donc de proche en proche jusqu'à franchir le seuil demandé — c'est très exactement ce que fait un algorithme de seuil, écrit à la main. Chercher un seuil de proche en proche : 1. Partir du premier terme. 2. Appliquer la relation de récurrence, un rang à la fois. 3. S'arrêter dès que le seuil est franchi, et lire le rang obtenu. La suite est croissante ici, donc une fois le seuil franchi il le reste — c'est ce qui autorise à s'arrêter au premier dépassement.
2. Étape 2 : a) On applique u_{n+1} = 2u_n - 1 en repartant à chaque fois du terme obtenu : u_1 = 2 3 - 1 = 5 u_2 = 2 5 - 1 = 9 u_3 = 2 9 - 1 = 17 u_4 = 2 17 - 1 = 33 u_5 = 2 33 - 1 = 65

   u_1 = 5,\ u_2 = 9,\ u_3 = 17,\ u_4 = 33,\ u_5 = 65

3. Étape 3 : b) Le seuil est 100. Le dernier terme calculé, u_5 = 65, ne le franchit pas encore. On poursuit : u_6 = 2 65 - 1 = 129 On a 129 > 100, et le rang précédent ne convenait pas (65 < 100). Le plus petit entier n tel que u_n > 100 est donc : n = 6

   n = 6

4. Étape 4 : c) Même travail avec le seuil 1\,000, en repartant de u_6 = 129 : u_7 = 2 129 - 1 = 257 u_8 = 2 257 - 1 = 513 u_9 = 2 513 - 1 = 1\,025 On a 1\,025 > 1\,000 alors que u_8 = 513 < 1\,000. Le plus petit entier convenable est donc : n = 9

   n = 9

5. Étape 5 : Une remarque pour aller plus loin — elle n'était pas demandée, mais elle relie cet exercice au précédent. En posant v_n = u_n - 1, on obtient : v_{n+1} = u_{n+1} - 1 = 2u_n - 1 - 1 = 2(u_n - 1) = 2v_n La suite (v_n) est donc géométrique de raison 2, avec v_0 = 2, d'où v_n = 2^{\,n+1} et : u_n = 2^{\,n+1} + 1 Contrôle : u_6 = 2^7 + 1 = 129 ✓ et u_9 = 2^{10} + 1 = 1\,025 ✓. Avec cette formule, on répond aux deux seuils sans dérouler la suite.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Répondre 129 à la question b). L'énoncé demande le plus petit n tel que u_n > 100, c'est-à-dire un rang, pas la valeur du terme. Le rang est 6, le terme est 129. Confondre les deux est l'erreur la plus fréquente sur les questions de seuil, et elle coûte tous les points de la question alors que le calcul était juste. À retenir : Avant d'écrire ta réponse, relis la question et repère ce qu'elle demande : un rang ou une valeur. Puis encadre : le rang trouvé franchit le seuil, le rang précédent ne le franchit pas. Ces deux vérifications tiennent en une ligne et rendent la réponse incontestable.