Population de bactéries : deux modèles

Énoncé

Une colonie de bactéries contient initialement 1 000 individus. On envisage deux modèles : - Modèle A (arithmétique) : la population augmente de 500 bactéries par heure. - Modèle B (géométrique) : la population augmente de 40 % par heure. On note A_n et B_n les populations après n heures. a) Exprimer A_n et B_n en fonction de n. b) Calculer A_5 et B_5. Quel modèle donne la plus grande population à n = 5 ? c) Calculer A_{10} et B_{10}. Que constate-t-on ?

Indice : A_n est arithmétique de raison 500 et B_n est géométrique de raison 1{,}4. Comparer les résultats.

Correction

1. Étape 1 : Cet exercice oppose les deux familles du chapitre sur un même phénomène, et c'est tout son intérêt : il montre pourquoi la distinction compte. Reconnaître le modèle à l'énoncé : La forme de l'évolution se lit dans son unité : - « +500 bactéries par heure » est un ajout fixe, exprimé en effectif → suite arithmétique de raison 500 ; - « +40\,\% par heure » est un ajout proportionnel à la population du moment → suite géométrique de raison 1{,}4.
2. Étape 2 : a) Modèle A, arithmétique de premier terme 1\,000 et de raison 500 : A_n = 1\,000 + 500n Modèle B, géométrique de premier terme 1\,000 et de raison 1 + 40{100} = 1{,}4 : B_n = 1\,000 1{,}4^{\,n}

   A_n = 1\,000 + 500n B_n = 1\,000 1{,}4^{\,n}

3. Étape 3 : b) Au bout de cinq heures : A_5 = 1\,000 + 500 5 = 1\,000 + 2\,500 = 3\,500 B_5 = 1\,000 1{,}4^{5} 1\,000 5{,}378 5\,378 Le modèle B donne déjà la population la plus grande, avec environ 1\,900 bactéries de plus.

   A_5 = 3\,500 B_5 5\,378

4. Étape 4 : c) Au bout de dix heures : A_{10} = 1\,000 + 500 10 = 6\,000 B_{10} = 1\,000 1{,}4^{10} 1\,000 28{,}925 28\,925 L'écart n'est plus de 1\,900 mais de près de 23\,000 bactéries : le modèle B donne presque cinq fois le modèle A.

   A_{10} = 6\,000 B_{10} 28\,925

5. Étape 5 : Ce qu'il faut constater, et qui est le vrai enseignement de l'exercice : la croissance géométrique finit toujours par écraser la croissance arithmétique. En cinq heures, le rapport est de 1{,}5 ; en dix heures, il est de 4{,}8 ; il continuerait de grandir sans limite. La raison en est simple : une suite arithmétique avance d'un pas constant, alors que le pas d'une suite géométrique est proportionnel à la valeur atteinte — il grandit donc en même temps qu'elle, et l'écart se creuse de plus en plus vite. On le voit sur les nombres : le modèle A ajoute 500 bactéries à chaque heure, de la première à la dixième ; le modèle B en ajoute 400 la première heure, mais plus de 8\,000 la dixième. C'est la raison pour laquelle une population libre de contrainte est modélisée par une suite géométrique, et pourquoi elle finit toujours par saturer son milieu.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Écrire B_n = 1\,000 + 0{,}4n ou B_n = 1\,000 0{,}4^n, en transformant un pourcentage en ajout fixe ou en oubliant le 1 du coefficient. Un pourcentage porte toujours sur la valeur courante, jamais sur la valeur initiale : 40\,\% de 1\,000 ne font pas 40\,\% de 5\,378. À retenir : Regarde l'unité de l'évolution donnée dans l'énoncé. Exprimée en effectif, en euros, en litres → arithmétique. Exprimée en pourcentage → géométrique, avec un coefficient 1 + t{100}. C'est le seul test à faire, et il ne se trompe jamais.