Population de bactéries : deux modèles

Énoncé

Une colonie de bactéries contient initialement 1 000 individus. On envisage deux modèles : - **Modèle A** (arithmétique) : la population augmente de 500 bactéries par heure. - **Modèle B** (géométrique) : la population augmente de 40 % par heure. On note A_n et B_n les populations après n heures. a) Exprimer A_n et B_n en fonction de n. b) Calculer A_5 et B_5. Quel modèle donne la plus grande population à n = 5 ? c) Calculer A_{10} et B_{10}. Que constate-t-on ?

Indice : A_n est arithmétique de raison 500 et B_n est géométrique de raison 1{,}4. Comparer les résultats.

Correction

1. Étape 1 : **a)** A_n = 1\,000 + 500n (arithmétique, r = 500). B_n = 1\,000 1{,}4^n (géométrique, q = 1{,}4).
2. Étape 2 : **b)** A_5 = 1\,000 + 500 5 = 3\,500. B_5 = 1\,000 1{,}4^5 1\,000 5{,}378 5\,378. Le modèle B donne une population plus grande à n = 5.
3. Étape 3 : **c)** A_{10} = 1\,000 + 5\,000 = 6\,000. B_{10} = 1\,000 1{,}4^{10} 1\,000 28{,}925 28\,925. La croissance exponentielle (modèle B) dépasse largement la croissance linéaire (modèle A).

   A_{10} = 6\,000 et B_{10} 28\,925