Placement financier : doubler son capital

Énoncé

On place un capital de 2 000 € sur un compte rémunéré à un taux annuel de 6 %. Les intérêts sont composés (ajoutés au capital chaque année). On note C_n le capital après n années. a) Justifier que (C_n) est une suite géométrique. Donner sa raison et son premier terme. b) Exprimer C_n en fonction de n. c) Au bout de combien d'années le capital a-t-il doublé ?

Indice : Chaque année le capital est multiplié par 1{,}06. Pour c), chercher n tel que C_n 4\,000.

Correction

1. Étape 1 : **a)** Chaque année : C_{n+1} = C_n + 0{,}06 C_n = 1{,}06 C_n. Donc (C_n) est géométrique de raison q = 1{,}06 et de premier terme C_0 = 2\,000.
2. Étape 2 : **b)** C_n = 2\,000 1{,}06^n.
3. Étape 3 : **c)** On cherche n tel que C_n 4\,000, soit 2\,000 1{,}06^n 4\,000, donc 1{,}06^n 2.
4. Étape 4 : Par calculs successifs : 1{,}06^{11} 1{,}898 et 1{,}06^{12} 2{,}012 2. Le capital a doublé au bout de **12 ans**.

   n = 12 ans