Placement financier : doubler son capital

Énoncé

On place un capital de 2 000 € sur un compte rémunéré à un taux annuel de 6 %. Les intérêts sont composés (ajoutés au capital chaque année). On note C_n le capital après n années. a) Justifier que (C_n) est une suite géométrique. Donner sa raison et son premier terme. b) Exprimer C_n en fonction de n. c) Au bout de combien d'années le capital a-t-il doublé ?

Indice : Chaque année le capital est multiplié par 1{,}06. Pour c), chercher n tel que C_n 4\,000.

Correction

1. Étape 1 : Trois questions qui s'enchaînent : reconnaître la nature de la suite, en tirer la formule, puis répondre à une question de seuil. Intérêts composés : Des intérêts composés sont ajoutés au capital, et produisent eux-mêmes des intérêts l'année suivante. Le capital est donc multiplié chaque année par le même coefficient 1 + t{100} — d'où une suite géométrique. Avec des intérêts simples, on ajouterait chaque année la même somme, calculée sur le capital de départ : ce serait une suite arithmétique.
2. Étape 2 : a) Chaque année, on garde le capital et on lui ajoute 6\,\% de lui-même : C_{n+1} = C_n + 0{,}06 C_n = C_n (1 + 0{,}06) = 1{,}06 C_n On passe donc d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre : (C_n) est géométrique, de raison q = 1{,}06 et de premier terme C_0 = 2\,000.

   C_{n+1} = 1{,}06 C_n

3. Étape 3 : b) La formule explicite d'une suite géométrique donne immédiatement : C_n = 2\,000 1{,}06^{\,n} Contrôle avec n = 1 : C_1 = 2\,000 1{,}06 = 2\,120 €. On a bien gagné 120 €, soit 6\,\% de 2\,000 €.

   C_n = 2\,000 1{,}06^{\,n}

4. Étape 4 : c) Doubler, c'est atteindre 2 2\,000 = 4\,000 € : 2\,000 1{,}06^{\,n} 4\,000 On divise les deux membres par 2\,000 : 1{,}06^{\,n} 2 Le capital initial a disparu. Autrement dit, le temps de doublement ne dépend pas de la somme placée : 2\,000 € ou 200\,000 €, il faut le même nombre d'années. Seul le taux compte.
5. Étape 5 : On calcule les puissances de 1{,}06 jusqu'à atteindre 2 : 1{,}06^{10} 1{,}791 — pas encore 1{,}06^{11} 1{,}898 — pas encore 1{,}06^{12} 2{,}012 2 — c'est atteint La suite étant croissante, le seuil reste franchi ensuite. Le capital a donc doublé au bout de 12 ans.

   n = 12 ans

6. Étape 6 : Vérifions en euros : C_{11} 2\,000 1{,}898 = 3\,796 € (pas encore doublé) et C_{12} 2\,000 2{,}012 = 4\,024 € (doublé). Les deux bornes encadrent la réponse. Un repère utile, connu des banquiers sous le nom de règle des 70 : le temps de doublement vaut à peu près 70{t} années, où t est le taux en pourcentage. Ici 70{6} 11{,}7, soit 12 ans une fois arrondi au rang entier supérieur. La règle tombe juste — elle ne remplace pas le calcul, mais elle permet de vérifier qu'on n'a pas fait d'erreur d'un facteur dix.
7. Étape 7 : L'erreur classique : Croire qu'un placement à 6\,\% rapporte 6\,\% de la somme de départ chaque année, donc qu'il faut environ 17 ans pour doubler (100 6). C'est vrai pour des intérêts simples, faux pour des intérêts composés : ici les intérêts rapportent à leur tour, et le doublement arrive en 12 ans au lieu de 17. À retenir : Dans un problème de seuil sur une suite géométrique, divise par le premier terme dès le début. L'inéquation devient plus simple, et surtout elle révèle ce qui compte vraiment : ici, que le temps de doublement ne dépend que du taux.