Somme et formule de récurrence

Énoncé

On définit (u_n) par u_0 = 1 et u_{n+1} = 3u_n + 2. a) Calculer u_1, u_2, u_3. b) On pose v_n = u_n + 1. Montrer que (v_n) est géométrique. c) En déduire u_n en fonction de n.

Indice : Pour b), calcule v_{n+1} en fonction de v_n. Pour c), utilise la formule de v_n puis reviens à u_n.

Correction

1. Étape 1 : **a)** u_1 = 3(1) + 2 = 5, u_2 = 3(5) + 2 = 17, u_3 = 3(17) + 2 = 53.
2. Étape 2 : **b)** v_{n+1} = u_{n+1} + 1 = 3u_n + 2 + 1 = 3u_n + 3 = 3(u_n + 1) = 3v_n.
3. Étape 3 : Donc (v_n) est géométrique de raison 3 et v_0 = u_0 + 1 = 2. Ainsi v_n = 2 3^n.
4. Étape 4 : **c)** u_n = v_n - 1 = 2 3^n - 1.

   u_n = 2 3^n - 1