Somme et formule de récurrence

Énoncé

On définit (u_n) par u_0 = 1 et u_{n+1} = 3u_n + 2. a) Calculer u_1, u_2, u_3. b) On pose v_n = u_n + 1. Montrer que (v_n) est géométrique. c) En déduire u_n en fonction de n.

Indice : Pour b), calcule v_{n+1} en fonction de v_n. Pour c), utilise la formule de v_n puis reviens à u_n.

Correction

1. Étape 1 : La relation u_{n+1} = 3u_n + 2 mélange une multiplication et une addition : la suite n'est donc ni arithmétique (la différence n'est pas constante) ni géométrique (le quotient non plus). Sans formule explicite, calculer u_{50} demanderait cinquante étapes. D'où la technique de la suite auxiliaire : l'énoncé fournit une suite (v_n) qui, elle, est géométrique. On travaille sur elle, puis on revient à (u_n). La méthode, dans l'ordre : 1. Calculer quelques termes pour se faire une idée. 2. Exprimer v_{n+1} en fonction de v_n — c'est là toute la démonstration. 3. En déduire la formule explicite de v_n. 4. Revenir à u_n en inversant la relation donnée.
2. Étape 2 : a) On applique la relation de récurrence trois fois : u_1 = 3 1 + 2 = 5 u_2 = 3 5 + 2 = 17 u_3 = 3 17 + 2 = 53 Au passage, on constate bien que ce n'est ni arithmétique (écarts 4, 12, 36) ni géométrique (quotients 5, 3{,}4, 3{,}1…).

   u_1 = 5 u_2 = 17 u_3 = 53

3. Étape 3 : b) Le point clé. On part de v_{n+1} — donc de la relation appliquée au rang suivant — et on cherche à faire réapparaître v_n : v_{n+1} = u_{n+1} + 1 On remplace u_{n+1} par ce que dit l'énoncé : v_{n+1} = (3u_n + 2) + 1 = 3u_n + 3
4. Étape 4 : Il reste à factoriser par 3 pour faire apparaître u_n + 1, c'est-à-dire v_n : v_{n+1} = 3u_n + 3 = 3(u_n + 1) = 3v_n On a bien exprimé v_{n+1} en fonction de v_n seul : la suite (v_n) est géométrique de raison 3. Son premier terme se calcule avec la relation donnée : v_0 = u_0 + 1 = 1 + 1 = 2.

   v_{n+1} = 3v_n v_0 = 2

5. Étape 5 : On applique alors la formule des suites géométriques : v_n = v_0 q^{\,n} = 2 3^n
6. Étape 6 : c) On revient enfin à (u_n). La relation v_n = u_n + 1 s'inverse en u_n = v_n - 1, d'où : u_n = 2 3^n - 1 Contrôle sur les termes déjà calculés : u_0 = 2 - 1 = 1 ✓, u_1 = 6 - 1 = 5 ✓, u_2 = 18 - 1 = 17 ✓, u_3 = 54 - 1 = 53 ✓. Les quatre concordent — la formule est juste. Et on peut maintenant calculer u_{50} d'un seul coup, ce qui était l'objectif.

   u_n = 2 3^n - 1

7. Étape 7 : L'erreur classique : Lire v_n = u_n + 1 comme une relation de récurrence, c'est-à-dire comprendre « on ajoute 1 à chaque rang ». Ce n'est pas ça : cette égalité relie deux suites différentes au même rang n. Une récurrence, elle, relie v_{n+1} à v_n — deux rangs d'une même suite. À retenir : Démarre toujours par v_{n+1}, jamais par v_n. C'est en écrivant v_{n+1} = u_{n+1} + 1 puis en remplaçant u_{n+1} que la factorisation apparaît. Et vérifie systématiquement la formule finale sur deux ou trois termes déjà calculés : c'est gratuit, et ça attrape à peu près toutes les fautes de signe.