Suite ni arithmétique ni géométrique

Énoncé

Soit u_n = 2^n + n. Montrer que cette suite n'est ni arithmétique ni géométrique.

Indice : Vérifie que u_{n+1} - u_n et u_{n+1}{u_n} ne sont pas constants.

Correction

1. Étape 1 : On demande de montrer qu'une suite n'est pas d'un certain type. C'est une question de logique autant que de calcul, et l'asymétrie mérite d'être comprise une bonne fois : Prouver, ou réfuter : - Pour prouver qu'une suite est arithmétique, il faut montrer que u_{n+1} - u_n est constante pour tout n : un calcul général est obligatoire. - Pour réfuter, il suffit d'exhiber deux différences qui ne sont pas égales : un seul contre-exemple suffit à faire tomber une affirmation universelle.
2. Étape 2 : Commençons par le critère arithmétique. On écrit le terme suivant : u_{n+1} = 2^{n+1} + (n+1) puis la différence : u_{n+1} - u_n = 2^{n+1} + n + 1 - (2^n + n) = 2^{n+1} - 2^n + 1 Or 2^{n+1} = 2 2^n, donc 2^{n+1} - 2^n = 2 2^n - 2^n = 2^n. D'où : u_{n+1} - u_n = 2^n + 1

   u_{n+1} - u_n = 2^n + 1

3. Étape 3 : Ce résultat dépend encore de n : il vaut 2 pour n = 0, 3 pour n = 1, 5 pour n = 2. La différence n'est donc pas constante, et la suite n'est pas arithmétique. On le voit aussi sur les termes eux-mêmes : u_0 = 1, u_1 = 3, u_2 = 6, u_3 = 11. Les écarts sont 2, 3, 5 — ils augmentent.
4. Étape 4 : Passons au critère géométrique. Le quotient s'écrit : u_{n+1}{u_n} = 2^{n+1 + n + 1}{2^n + n} Cette expression ne se simplifie pas, parce que le +n empêche de factoriser les puissances de 2. Inutile d'insister : puisqu'on veut réfuter, deux valeurs numériques suffisent.
5. Étape 5 : On calcule le quotient pour deux rangs : Pour n = 0 : u_1{u_0} = 3{1} = 3 Pour n = 1 : u_2{u_1} = 6{3} = 2 Les deux quotients diffèrent, donc le quotient n'est pas constant : la suite n'est pas géométrique. Conclusion : (u_n) n'est ni arithmétique, ni géométrique.

   u_1{u_0} = 3 2 = u_2{u_1}

6. Étape 6 : L'erreur classique : Croire qu'une suite est forcément arithmétique ou géométrique, et conclure « ce n'est pas arithmétique, donc c'est géométrique ». Ces deux familles sont très particulières : l'immense majorité des suites n'appartient à aucune des deux. Ici la formule mélange une puissance et un terme linéaire — il n'y a aucune raison qu'elle rentre dans une case. À retenir : Adapte l'effort à ce qu'on te demande. Réfuter coûte deux calculs numériques ; prouver exige un calcul littéral valable pour tout n. Se lancer dans le calcul général quand un contre-exemple suffirait fait perdre du temps — et l'inverse, conclure « c'est constant » après deux valeurs égales, est carrément faux.