Suite ni arithmétique ni géométrique

Énoncé

Soit u_n = 2^n + n. Montrer que cette suite n'est ni arithmétique ni géométrique.

Indice : Vérifie que u_{n+1} - u_n et u_{n+1}{u_n} ne sont pas constants.

Correction

1. Étape 1 : u_{n+1} - u_n = 2^{n+1} + (n+1) - 2^n - n = 2^n + 1. Ce n'est **pas constant** (dépend de n) → pas arithmétique.
2. Étape 2 : u_{n+1}{u_n} = 2^{n+1 + n + 1}{2^n + n}. Pour n=0 : 3{1} = 3, pour n=1 : 6{3} = 2. Pas constant → pas géométrique.