Problème d'intérêts composés

Énoncé

On place 10 000 € à un taux annuel de 3%. Soit C_n le capital après n années. a) Exprimer C_n en fonction de n. b) Au bout de combien d'années le capital dépasse-t-il 13 000 € ?

Indice : Le capital est multiplié par 1{,}03 chaque année. Pour b), résous 10000 1{,}03^n > 13000.

Correction

1. Étape 1 : Un taux annuel de 3\,\% signifie que le capital est multiplié chaque année par le même coefficient — et non augmenté d'une somme fixe. C'est ce qui fait de (C_n) une suite géométrique. Évolution en pourcentage : Augmenter de t\,\%, c'est multiplier par 1 + t{100}. Ici t = 3, donc le coefficient vaut 1 + 0{,}03 = 1{,}03. Après n années, ce coefficient s'applique n fois : C_n = C_0 1{,}03^{\,n}. ⚠️ La question b) demande un seuil. En Première on ne dispose pas encore du logarithme : on répond en calculant les puissances successives, ce qui est parfaitement rigoureux.
2. Étape 2 : a) Chaque année, le nouveau capital vaut l'ancien augmenté de ses intérêts : C_{n+1} = C_n + 0{,}03 C_n = C_n (1 + 0{,}03) = 1{,}03 C_n La suite est donc géométrique de raison q = 1{,}03, de premier terme C_0 = 10\,000. Sa formule explicite est : C_n = 10\,000 1{,}03^{\,n}

   C_n = 10\,000 1{,}03^{\,n}

3. Étape 3 : b) On traduit la question par une inéquation, puis on la simplifie en divisant les deux membres par 10\,000 : 10\,000 1{,}03^{\,n} > 13\,000 1{,}03^{\,n} > 13\,000{10\,000} 1{,}03^{\,n} > 1{,}3 Le capital initial a disparu : ce qui compte n'est pas la somme placée, mais le rapport qu'on veut atteindre — ici, multiplier son capital par 1{,}3.
4. Étape 4 : On calcule les puissances de 1{,}03 à la calculatrice, jusqu'à dépasser 1{,}3 : 1{,}03^{7} 1{,}230 — pas encore 1{,}03^{8} 1{,}267 — pas encore 1{,}03^{9} 1{,}305 > 1{,}3 — c'est franchi Comme la suite est croissante (on multiplie chaque année par un nombre supérieur à 1), une fois le seuil franchi il l'est définitivement. Le plus petit rang convenable est donc n = 9.

   n = 9 ans

5. Étape 5 : Traduisons la réponse : au bout de 9 ans, le capital dépasse 13\,000 €. On peut le vérifier directement : C_8 = 10\,000 1{,}03^{8} 12\,668 € — encore sous les 13\,000 € C_9 = 10\,000 1{,}03^{9} 13\,048 € — au-dessus Les deux bornes encadrent la réponse : le rang 9 convient, le rang 8 ne convient pas.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Multiplier par 0{,}03 au lieu de 1{,}03. Le coefficient n'est pas le taux : 0{,}03 ferait perdre 97\,\% du capital chaque année. Le 1 représente le capital qu'on garde, le 0{,}03 les intérêts qu'on ajoute. À retenir : Contrôle le sens de ton coefficient avant tout calcul : un capital placé augmente, donc son coefficient doit être supérieur à 1. Une baisse de t\,\% donne au contraire un coefficient inférieur à 1 — perdre 30\,\%, c'est garder 70\,\%, donc multiplier par 0{,}7.