Sens de variation

Énoncé

Soit u_n = n^2 - 6n + 1. Étudier le sens de variation de (u_n).

Indice : Calcule u_{n+1} - u_n et étudie son signe.

Correction

1. Étape 1 : Attention au piège d'apparence : la formule u_n = n^2 - 6n + 1 ressemble à un trinôme du second degré, mais (u_n) n'est ni arithmétique ni géométrique — on ne peut donc pas conclure sur son sens de variation en regardant une raison. Sens de variation d'une suite : On étudie le signe de la différence u_{n+1} - u_n : - si elle est positive pour tout n, la suite est croissante ; - si elle est négative pour tout n, la suite est décroissante ; - si elle change de signe, la suite décroît puis croît (ou l'inverse).
2. Étape 2 : On écrit d'abord le terme de rang n+1, en remplaçant n par n+1 partout dans la formule : u_{n+1} = (n+1)^2 - 6(n+1) + 1 Puis on développe, morceau par morceau : (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 -6(n+1) = -6n - 6 D'où u_{n+1} = n^2 + 2n + 1 - 6n - 6 + 1 = n^2 - 4n - 4.
3. Étape 3 : On soustrait maintenant u_n = n^2 - 6n + 1. Les parenthèses sont indispensables : on soustrait toute l'expression, donc chaque signe change. u_{n+1} - u_n = (n^2 - 4n - 4) - (n^2 - 6n + 1) = n^2 - 4n - 4 - n^2 + 6n - 1 = 2n - 5 Les n^2 se simplifient — c'est toujours le cas pour une formule du second degré, et c'est ce qui rend le signe facile à étudier.

   u_{n+1} - u_n = 2n - 5

4. Étape 4 : Il reste à lire le signe de 2n - 5, qui est une expression du premier degré : 2n - 5 < 0 2n < 5 n < 2{,}5 Comme n est entier, cela concerne n = 0, 1 et 2. Pour ces trois rangs la différence est négative, donc : u_1 < u_0, u_2 < u_1, u_3 < u_2 La suite décroît jusqu'au rang 3.
5. Étape 5 : Symétriquement, 2n - 5 > 0 n > 2{,}5, soit n 3. Pour ces rangs la différence est positive : u_4 > u_3, u_5 > u_4, et ainsi de suite. La suite croît à partir du rang 3. En résumé : (u_n) est décroissante de u_0 à u_3, puis croissante ensuite. Elle n'est donc pas monotone — elle change de sens en route.

   Décroissante jusqu'à u_3, puis croissante

6. Étape 6 : Le minimum est atteint au rang du changement de sens : u_3 = 9 - 18 + 1 = -8. On peut le vérifier en listant les premiers termes : 1, -4, -7, -8, -7, -4, 1. La liste descend, touche le fond à -8, puis remonte — et elle est même parfaitement symétrique autour du rang 3.
7. Étape 7 : L'erreur classique : Calculer la différence dans le mauvais ordre, u_n - u_{n+1}, puis lire son signe comme s'il s'agissait de l'autre. On trouve alors 5 - 2n, positif pour n < 2{,}5, et on conclut que la suite croît au début — exactement l'inverse de la vérité. À retenir : « Où je vais moins où je suis » : la différence à étudier est toujours u_{n+1} - u_n. Et si le doute persiste, tranche avec deux termes calculés : ici u_0 = 1 et u_1 = -4, donc ça descend. Deux termes ne suffisent pas à démontrer le sens de variation, mais ils suffisent largement à repérer qu'on s'est trompé de signe.