Suite géométrique et somme

Énoncé

(u_n) est géométrique de raison q = 1{2} et u_0 = 8. a) Exprimer u_n en fonction de n. b) Calculer S = u_0 + u_1 + + u_5.

Indice : u_n = u_0 q^n et S = u_0 1 - q^6{1 - q}.

Correction

1. Étape 1 : Deux questions, deux formules — et pour la seconde, tout se joue sur le nombre de termes, qui n'est pas écrit noir sur blanc dans l'énoncé. Suite géométrique : terme et somme : Si (u_n) est géométrique de premier terme u_0 et de raison q 1 : [formule] [formule]
2. Étape 2 : a) On applique la formule du terme général avec u_0 = 8 et q = 1{2} : u_n = 8 (1{2})^n On peut aussi l'écrire u_n = 8{2^n}, puisque (1{2})^n = 1{2^n}. Contrôle avec n = 0 : u_0 = 8 1 = 8. Les premiers termes sont donc 8, 4, 2, 1, 0{,}5, 0{,}25 — la suite est divisée par deux à chaque rang.

   u_n = 8 (1{2})^n = 8{2^n}

3. Étape 3 : b) La somme demandée va de u_0 à u_5. Comptons : u_0, u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, soit six termes. L'exposant à écrire dans la formule est donc 6, et non 5. S = 8 1 - ({1{2})^6}{1 - 1{2}}
4. Étape 4 : On calcule les deux morceaux séparément. Au numérateur : (1{2})^6 = 1{64}, donc 1 - 1{64} = 64{64} - 1{64} = 63{64}. Au dénominateur : 1 - 1{2} = 1{2}.
5. Étape 5 : Diviser par 1{2} revient à multiplier par 2 : S = 8 {63{64}}{1{2}} = 8 63{64} 2 = 8 63 2{64} = 1\,008{64} = 63{4} = 15{,}75

   S = 63{4} = 15{,}75

6. Étape 6 : Vérification directe, puisque les termes sont simples : 8 + 4 + 2 + 1 + 0{,}5 + 0{,}25 = 15{,}75. La formule et le calcul à la main donnent le même résultat. Et une remarque qui éclaire le chapitre : la somme s'approche de 16 sans jamais l'atteindre. On peut ajouter autant de termes qu'on veut, on restera toujours en dessous — c'est le premier aperçu de ce que sera une limite en Terminale.
7. Étape 7 : L'erreur classique : Écrire 1 - q^5{1 - q} parce que la somme s'arrête à u_5. Il y a 6 termes de u_0 à u_5, donc l'exposant est 6. Avec 5, on obtiendrait 15{,}5 au lieu de 15{,}75 : un résultat faux, mais suffisamment proche pour ne pas éveiller les soupçons. À retenir : Vérifie la formule sur le plus petit cas possible, celui où tu peux compter sur tes doigts : u_0 + u_1 fait deux termes, donc doit valoir u_0 1 - q^2{1 - q}. Avec q = 1{2} et u_0 = 8 : 8 1 - 14{12} = 8 3{2} = 12, et en effet 8 + 4 = 12. La formule est bonne.