Somme de termes d'une suite arithmétique

Énoncé

Calculer S = 1 + 3 + 5 + 7 + + 99 (somme des 50 premiers nombres impairs).

Indice : C'est une suite arithmétique de premier terme 1, raison 2. Utilise la formule somme = nb de termes × (premier + dernier)/2.

Correction

1. Étape 1 : Additionner ces cinquante nombres un par un prendrait dix minutes et donnerait sûrement une faute. Il existe une formule, mais elle demande un renseignement qui n'est pas écrit dans l'énoncé : combien y a-t-il de termes ? Somme des termes d'une suite arithmétique : [formule] Autrement dit : le nombre de termes multiplié par la moyenne des extrêmes.
2. Étape 2 : D'abord, la nature de la liste. On passe de 1 à 3, de 3 à 5 : on ajoute 2 à chaque fois. C'est bien une suite arithmétique de raison 2, de premier terme 1. Sa formule explicite est u_n = 1 + 2n, pour n partant de 0.
3. Étape 3 : Combien de termes ? Le dernier vaut 99, donc on cherche le rang correspondant : 1 + 2n = 99 2n = 98 n = 49 La liste va donc de u_0 à u_{49}. Attention au décompte : de 0 à 49, il y a 50 entiers, pas 49 — il faut compter le rang 0. On peut aussi le calculer directement : 99 - 1{2} + 1 = 98{2} + 1 = 49 + 1 = 50.

   50 termes

4. Étape 4 : On applique maintenant la formule, avec ses trois ingrédients : 50 termes, premier 1, dernier 99. S = 50 1 + 99{2} = 50 100{2} = 50 50 = 2\,500 L'idée derrière cette formule mérite d'être vue une fois, parce qu'elle la rend inoubliable : on apparie le premier terme avec le dernier, le deuxième avec l'avant-dernier, et ainsi de suite. Ici 1 + 99 = 100, 3 + 97 = 100, 5 + 95 = 100… chaque paire vaut 100, et c'est exactement ce que dit la formule.

   S = 2\,500

5. Étape 5 : Un contrôle d'ordre de grandeur, qui vaut d'être fait systématiquement : la somme doit se situer entre 50 1 = 50 (si tous les termes valaient le plus petit) et 50 99 = 4\,950 (si tous valaient le plus grand). Notre résultat, 2\,500, tombe pile au milieu — ce qui est attendu pour une suite arithmétique, dont les termes sont régulièrement répartis. Au passage, ce résultat est un joli fait : la somme des n premiers nombres impairs vaut toujours n^2. Ici 50^2 = 2\,500.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Compter 49 termes au lieu de 50, en oubliant le rang 0. C'est de très loin la faute la plus fréquente sur les sommes, et elle passe inaperçue parce que le résultat reste plausible : on obtiendrait 2\,450, tout aussi crédible que 2\,500. À retenir : Compte les termes avec la formule {dernier - premier}{raison} + 1. Le +1 est là parce qu'on compte les termes, alors que la division compte les pas entre eux — et il y a toujours un pas de moins que de termes. Vérifie sur un cas minuscule : de 1 à 5 de deux en deux, on a 1, 3, 5, soit 5-1{2} + 1 = 3 termes.