Formule explicite d'une suite arithmétique

Énoncé

(u_n) est arithmétique de raison r = 4 et u_0 = -1. a) Donner la formule explicite de u_n. b) Calculer u_{20}. c) Quel est le rang du premier terme positif ?

Indice : u_n = u_0 + nr. Le premier terme positif vérifie u_n > 0.

Correction

1. Étape 1 : Trois questions, et la troisième est d'une autre nature que les deux premières : elle demande un rang, pas une valeur. Formule explicite d'une suite arithmétique : Si (u_n) est arithmétique de raison r et de premier terme u_0, alors pour tout n : [formule] Le premier terme est le point de départ ; la raison est le pas, répété n fois pour atteindre le rang n.
2. Étape 2 : a) On applique la formule avec u_0 = -1 et r = 4 : u_n = -1 + 4n qu'on écrit plus lisiblement u_n = 4n - 1. Contrôle immédiat avec n = 0 : u_0 = 4 0 - 1 = -1. C'est bien le premier terme annoncé.

   u_n = 4n - 1

3. Étape 3 : b) Il suffit de remplacer n par 20 : u_{20} = 4 20 - 1 = 80 - 1 = 79 C'est tout l'intérêt de la formule explicite : on atteint le rang 20 sans calculer les dix-neuf termes qui le précèdent.

   u_{20} = 79

4. Étape 4 : c) On cherche les rangs pour lesquels le terme est strictement positif : u_n > 0 4n - 1 > 0 4n > 1 n > 1{4} L'inéquation est donc résolue : tous les rangs strictement supérieurs à 0{,}25 conviennent.
5. Étape 5 : Reste à revenir aux entiers. Le plus petit entier strictement supérieur à 0{,}25 est 1 — pas 0, puisque 0 < 0{,}25. Le premier terme positif est donc u_1 = 4 1 - 1 = 3, atteint au rang 1. On vérifie que le rang précédent ne convenait pas : u_0 = -1, effectivement négatif.

   Rang 1, avec u_1 = 3

6. Étape 6 : Un contrôle graphique, qui rend la formule parlante. Une suite arithmétique se représente par des points alignés : u_n = 4n - 1 est l'équation d'une droite, prise seulement aux abscisses entières. | n | 0 | 1 | 2 | 3 | | --- | --- | --- | --- | --- | | u_n | -1 | 3 | 7 | 11 | La raison r = 4 est la pente de cette droite, et le premier terme u_0 = -1 son ordonnée à l'origine. C'est pourquoi la formule u_n = u_0 + nr ressemble tant à y = ax + b : c'est la même chose. 👉 D'où un contrôle immédiat sur la question c) : la droite part de -1 et monte de 4 à chaque pas, donc elle franchit l'axe entre les rangs 0 et 1. Le premier terme positif est donc au rang 1 — ce qu'on avait trouvé, mais qui se lit ici sans résoudre aucune inéquation.
7. Étape 7 : L'erreur classique : Répondre n = 0{,}25, ou arrondir à n = 0. Un rang est un entier naturel : une fois l'inéquation résolue, il faut encore choisir le bon entier, et le sens de l'inégalité décide. Ici n > 0{,}25 donne n = 1 ; si l'on avait trouvé n > 3, la réponse serait 4 et non 3. À retenir : Termine toujours une question de rang en vérifiant les deux côtés : le rang trouvé convient, et le rang juste avant ne convient pas. Ici u_1 = 3 > 0 et u_0 = -1 < 0 : la réponse est encadrée, il n'y a plus de doute possible.