Identifier une suite géométrique

Énoncé

La suite (v_n) est définie par v_n = 5 2^n. Montrer qu'elle est géométrique et donner sa raison et son premier terme.

Indice : Calcule v_{n+1}{v_n}.

Correction

1. Étape 1 : On demande de montrer que la suite est géométrique : ce n'est pas une question à réponse courte, c'est une démonstration. Le critère à établir porte sur le quotient de deux termes consécutifs. Reconnaître une suite géométrique : Une suite est géométrique lorsque le quotient v_{n+1}{v_n} vaut le même nombre pour tout n. Ce nombre s'appelle la raison et se note q : on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par la même quantité. La différence tient en un mot : arithmétique, on ajoute ; géométrique, on multiplie. Le calcul est donc une division, pas une soustraction.
2. Étape 2 : On écrit le terme de rang n+1 en remplaçant n par n+1 dans la formule donnée : v_{n+1} = 5 2^{n+1} Puis on forme le quotient avec v_n = 5 2^n : v_{n+1}{v_n} = 5 2^{n+1}{5 2^n}
3. Étape 3 : Les 5 se simplifient, et les puissances de 2 aussi : 5 2^{n+1}{5 2^n} = 2^{n+1}{2^n} = 2^{n+1-n} = 2^1 = 2 Le résultat vaut 2, sans aucun n : le quotient est constant. La suite est donc géométrique, de raison q = 2.

   v_{n+1}{v_n} = 2 pour tout n

4. Étape 4 : Il reste à donner le premier terme. On le lit en remplaçant n par 0 : v_0 = 5 2^0 = 5 1 = 5 La suite (v_n) est donc géométrique de premier terme v_0 = 5 et de raison q = 2 : elle double à chaque rang, en partant de 5. On retrouve bien 5, 10, 20, 40…

   v_0 = 5 q = 2

5. Étape 5 : Ce que « géométrique » veut dire concrètement. Écrivons les premiers termes : 5, 10, 20, 40, 80… La suite double à chaque rang. C'est là toute la différence avec une suite arithmétique, qui ajouterait toujours la même quantité : | rang | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | géométrique ( 2) | 5 | 10 | 20 | 40 | 80 | | arithmétique (+5) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | Les deux partent de 5 et passent par 10 — elles sont indiscernables sur deux termes. C'est précisément pourquoi un test de nature ne se fait jamais sur deux valeurs : il faut le calcul général du quotient, comme on vient de le mener. 👉 Et l'écart se creuse vite : au rang 10, la géométrique vaut 5\,120 contre 55 pour l'arithmétique. C'est ce que modélisent les intérêts composés et la croissance d'une population — deux situations qu'on rencontrera plus loin dans le chapitre.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Échanger les rôles des deux nombres et répondre « premier terme 2, raison 5 ». Dans l'écriture v_n = v_0 q^n, le nombre devant est le point de départ, celui à la base de la puissance est le facteur répété. Ici 5 2^n : on part de 5 et on multiplie par 2. À retenir : Contrôle avec n = 0 : la formule doit redonner exactement le premier terme, puisque q^0 = 1. Si tu obtiens la raison à la place, les deux rôles sont inversés.