Suite définie par récurrence

Énoncé

Soit cases u_0 = 5 u_{n+1} = u_n - 3 cases. Calculer u_1, u_2, u_3 et u_4. Cette suite est-elle arithmétique ? Si oui, donner sa raison.

Indice : Calcule chaque terme à partir du précédent. Si u_{n+1} - u_n est constant, c'est arithmétique.

Correction

1. Étape 1 : Cette suite est donnée par récurrence : on connaît le point de départ u_0 = 5, et une règle qui fabrique chaque terme à partir du précédent. Impossible de calculer u_4 directement — il faut construire la chaîne u_0 u_1 u_2 u_3 u_4. Reconnaître une suite arithmétique : Une suite est arithmétique lorsque la différence u_{n+1} - u_n vaut le même nombre pour tout n. Ce nombre s'appelle la raison et se note r. Autrement dit : on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même quantité.
2. Étape 2 : On applique la règle u_{n+1} = u_n - 3 quatre fois de suite, en repartant à chaque fois du terme qu'on vient d'obtenir : u_1 = u_0 - 3 = 5 - 3 = 2 u_2 = u_1 - 3 = 2 - 3 = -1 u_3 = u_2 - 3 = -1 - 3 = -4 u_4 = u_3 - 3 = -4 - 3 = -7

   u_1 = 2 u_2 = -1 u_3 = -4 u_4 = -7

3. Étape 3 : Reste à conclure sur la nature. La relation u_{n+1} = u_n - 3 se réécrit en isolant la différence : u_{n+1} - u_n = -3 Ce résultat ne dépend pas de n : quel que soit le rang, l'écart entre un terme et le suivant vaut -3. La suite est donc arithmétique, et sa raison est r = -3. On le vérifie sur les termes calculés : 2 - 5 = -3, puis -1 - 2 = -3, puis -4 - (-1) = -3. Toujours le même écart.
4. Étape 4 : Passer de la récurrence à l'explicite. On a dû calculer u_1, u_2, u_3 puis u_4 dans l'ordre. Pour u_{100}, ce serait cent calculs — d'où l'intérêt de trouver une formule directe. Puisque la suite est arithmétique de premier terme u_0 = 5 et de raison r = -3 : [formule] Contrôle sur les termes déjà calculés : | n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | par récurrence | 5 | 2 | -1 | -4 | -7 | | par 5 - 3n | 5 | 2 | -1 | -4 | -7 | Les deux lignes coïncident : la formule est bonne, et u_{100} = 5 - 300 = -295 s'obtient désormais d'un coup. 👉 Toute suite arithmétique possède ces deux écritures, et savoir passer de l'une à l'autre est le geste le plus rentable du chapitre : la récurrence dit comment la suite se construit, l'explicite permet d'atteindre n'importe quel rang.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Répondre « raison r = 3 » parce qu'on enlève 3 à chaque fois. La raison s'utilise avec son signe : ici on ajoute -3, donc r = -3. Et ce signe porte une information — une raison négative rend la suite décroissante, ce qu'on voit bien : 5, 2, -1, -4, -7. À retenir : Lis toujours le coefficient avec le signe qui le précède. Dans u_n = 5 - 2n, la raison est -2, pas 2. Et pour trancher la nature d'une suite, on ne regarde pas la formule de loin : on calcule u_{n+1} - u_n et on vérifie que n a bien disparu du résultat.