Calculer des termes d'une suite
Énoncé
Soit u_n = 3n - 2. Calculer u_0, u_1, u_5 et u_{10}.
Indice : Remplace n par la valeur demandée.
Correction
- Étape 1 : La suite est donnée par une formule explicite : u_n = 3n - 2. C'est le cas le plus confortable, parce qu'on peut calculer n'importe quel terme directement, sans connaître les précédents. Pour obtenir u_{10}, pas besoin de passer par u_9 : on remplace n par 10, et c'est tout.
Ce que veut dire l'écriture u_n :
Un indice n'est pas un exposant ni un facteur : u_5 se lit « u indice 5 » et désigne le terme de rang 5, c'est-à-dire le sixième si l'on commence à u_0. La lettre n est une case vide dans laquelle on écrit le rang voulu.
- Étape 2 : On remplace n par 0, en gardant les deux morceaux de la formule :
u_0 = 3 0 - 2 = 0 - 2 = -2
Un premier terme négatif n'a rien d'anormal : une suite n'est qu'une liste de nombres, ils peuvent être de n'importe quel signe.
- Étape 3 : On continue avec les trois autres rangs demandés :
u_1 = 3 1 - 2 = 3 - 2 = 1
u_5 = 3 5 - 2 = 15 - 2 = 13
u_{10} = 3 10 - 2 = 30 - 2 = 28
u_0 = -2 u_1 = 1 u_5 = 13 u_{10} = 28
- Étape 4 : Un contrôle qui ne coûte rien. Passer du rang n au rang n+1 ajoute exactement 3 au résultat, car le coefficient devant n vaut 3 : les termes doivent donc se suivre de 3 en 3.
Et c'est bien le cas — -2, puis 1, 4, 7, 10, 13… On retrouve u_5 = 13 en comptant, ce qui confirme le calcul direct. Cette régularité a un nom, qu'on rencontrera dès l'exercice suivant : la suite est arithmétique.
- Étape 5 : Ce que le calcul vient de montrer, et qui prépare tout le chapitre. Rangeons les six premiers termes et regardons les écarts :
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| u_n | -2 | 1 | 4 | 7 | 10 | 13 |
| écart | | +3 | +3 | +3 | +3 | +3 |
L'écart est constant, et il vaut le coefficient de n dans la formule.
👉 Ce n'est pas une coïncidence propre à cet exemple : dès qu'une suite s'écrit u_n = an + b, passer du rang n au rang n+1 ajoute toujours a. C'est exactement la définition d'une suite arithmétique, qu'on rencontrera au prochain exercice — on vient donc d'en voir une sans le savoir.
⚠️ Et la réciproque est utile pour se relire : si tes termes ne progressent pas régulièrement alors que ta formule est du type an + b, c'est qu'un calcul est faux.
- Étape 6 : L'erreur classique :
Calculer u_5 = 3 5 = 15 en oubliant le -2, et répondre 15 au lieu de 13. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle vient d'un réflexe : on voit 3n, on multiplie, et on oublie que le reste de la formule fait partie du calcul.
À retenir :
Écris d'abord la formule complète avec la valeur à la place de n — u_5 = 3 5 - 2 — et calcule seulement ensuite. Ce détour d'une ligne supprime l'erreur : tant que le -2 est écrit, il ne peut pas disparaître.