Proportion ou évolution ?

Énoncé

Voici quatre phrases relevées dans un journal local (données fictives). 1. « 45 % des lycéens de la ville lisent au moins un livre par mois. » 2. « Au 1er janvier, le ticket de bus augmente de 10 %. » 3. « La part des élèves demi-pensionnaires du lycée est passée de 60 % à 66 %. » 4. « Le club de théâtre a perdu 20 % de ses adhérents en un an. » *Sans calculatrice.* a) Pour chaque phrase, dire si le pourcentage exprime une proportion ou une évolution, et préciser l'ensemble de référence (pour une proportion) ou la valeur de départ (pour une évolution). b) Phrase 3 : de combien de points de pourcentage la part des demi-pensionnaires a-t-elle augmenté ? Calculer son taux d'évolution. Un article titre « La demi-pension progresse de 6 % » : qu'en penser ? c) Phrase 2 : le ticket coûtait 1,50 €. Quel est son nouveau prix ? d) Phrase 4 : le club compte aujourd'hui 32 adhérents. Combien en comptait-il un an plus tôt ?

Indice : « p % des … » est une proportion, « augmente de » ou « perd » une évolution. Une différence entre deux proportions se mesure en points ; un taux d'évolution se rapporte à la valeur de départ.

Correction

1. Étape 1 : Un pourcentage ne se lit qu'avec ce à quoi il se rapporte. La question à se poser devant chaque phrase : compare-t-on une partie à un tout, ou une valeur finale à une valeur initiale ? Deux usages du pourcentage : Proportion : « p % des … » compare une partie à un tout, au même moment. Évolution : « augmente (ou baisse) de t % » compare une valeur finale à une valeur initiale ; elle se traduit par le coefficient multiplicateur 1 + t. Quand une proportion passe de p₁ % à p₂ %, la différence p₂ - p₁ s'exprime en points de pourcentage : ce n'est pas un taux d'évolution.
2. Étape 2 : a) Phrase 1 : proportion ; l'ensemble de référence est celui des lycéens de la ville. Phrase 2 : évolution ; la valeur de départ est l'ancien prix du ticket. Phrase 3 : 60 % et 66 % sont deux proportions, qui portent sur les élèves du lycée ; la phrase décrit l'évolution de cette proportion entre deux dates. Phrase 4 : évolution (une baisse) ; la valeur de départ est le nombre d'adhérents d'il y a un an.
3. Étape 3 : b) La part augmente de 66 - 60 = 6 points de pourcentage. Son taux d'évolution se rapporte à la valeur de départ, 60 % : t = (66 - 60)/60 = 6/60 = 0,1, soit une hausse de 10 %. Le titre « progresse de 6 % » est donc faux : la part des demi-pensionnaires a gagné 6 points, ce qui représente une hausse de 10 %.

   66 - 60 = 6 points t = 6/60 = 0,1 = 10 %

4. Étape 4 : c) Une hausse de 10 % multiplie le prix par 1,1 : 1,50 × 1,1 = 1,65 €. Le ticket coûte désormais 1,65 €. d) Une baisse de 20 % multiplie le nombre d'adhérents par 0,8. Si N est le nombre d'adhérents d'il y a un an, N × 0,8 = 32, donc N = 32/(0,8) = 40 adhérents. Contrôle : 20 % de 40 font 8, et 40 - 8 = 32 ✓

   1,50 × 1,1 = 1,65 N = 32/(0,8) = 40

5. Étape 5 : L'erreur classique : Lire le passage de 60 % à 66 % comme une hausse de « 6 % » : on confond la différence de deux proportions (6 points) avec le taux d'évolution (+10 %). Second piège, à la question d) : ajouter 20 % à 32. On trouverait 32 × 1,2 = 38,4 adhérents — un nombre qui n'est même pas entier. Les 20 % portent sur le nombre de départ, qu'on retrouve en divisant par le coefficient 0,8. À retenir : Devant un pourcentage, demande-toi d'abord « pourcentage de quoi ? ». Une différence de proportions se dit en points ; un taux d'évolution se calcule toujours par rapport à la valeur de départ.