Comparer deux séries : médiane, écart interquartile et moyenne

Énoncé

On a relevé le temps de trajet entre le domicile et le lycée, en minutes, des élèves de deux classes de Seconde de 28 élèves chacune (données fictives). Voici le résumé de chaque série : | | Min | Q₁ | Médiane | Q₃ | Max | Moyenne | |---|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:| | Classe A | 2 | 8 | 20 | 32 | 40 | 20 | | Classe B | 5 | 13 | 20 | 27 | 55 | 23 | *Sans calculatrice.* a) Calculer l'étendue et l'écart interquartile de chaque série. b) Comparer les deux séries à l'aide du couple (médiane ; écart interquartile). c) Les deux médianes sont égales, mais la moyenne de la classe B dépasse celle de la classe A de 3 minutes. Expliquer ce décalage à l'aide des résumés. d) Un élève affirme : « Dans la classe B, au moins la moitié des élèves mettent entre 13 et 27 minutes. » A-t-il raison ?

Indice : Étendue = max - min, écart interquartile = Q₃ - Q₁. Pour la question c), regarde comment se répartit le quart des élèves qui ont les trajets les plus longs.

Correction

1. Étape 1 : On ne compare pas deux séries avec un seul nombre : on prend un indicateur de position et un indicateur de dispersion qui vont ensemble. Deux couples d'indicateurs : Le couple (médiane ; écart interquartile Q₃ - Q₁) ne dépend que des valeurs de rang central : il est peu sensible aux valeurs extrêmes. C'est lui que représente le diagramme en boîte. Le couple (moyenne ; écart type) fait intervenir toutes les valeurs : une valeur extrême le déplace. L'étendue, elle, ne dépend que de deux valeurs, la plus petite et la plus grande : une seule valeur exceptionnelle suffit à la changer.
2. Étape 2 : a) Classe A : étendue 40 - 2 = 38 min, écart interquartile 32 - 8 = 24 min. Classe B : étendue 55 - 5 = 50 min, écart interquartile 27 - 13 = 14 min.

   A : e = 38, Q₃ - Q₁ = 24 B : e = 50, Q₃ - Q₁ = 14

3. Étape 3 : b) Les deux médianes valent 20 min : dans chaque classe, la moitié des élèves mettent au plus 20 minutes. Les deux séries ont donc la même position. L'écart interquartile de la classe B (14 min) est bien plus petit que celui de la classe A (24 min) : la moitié centrale des trajets de la classe B est nettement plus resserrée autour de la médiane. Au sens de ce couple, la classe B est la plus homogène.
4. Étape 4 : c) Dans la classe B, le quart des élèves qui ont les trajets les plus longs s'étale de Q₃ = 27 min jusqu'à 55 min : quelques trajets sont très longs. C'est aussi ce qui rend son étendue (50 min) plus grande que celle de la classe A (38 min), alors que son écart interquartile est plus petit. La moyenne fait intervenir toutes les valeurs : ces trajets très longs la tirent vers le haut. La médiane ne dépend que des valeurs de rang central, qui ne bougent pas. D'où une moyenne de 23 min pour une médiane de 20 min.
5. Étape 5 : d) Q₁ = 13 est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales : les valeurs strictement inférieures à 13 représentent donc moins de 25 % de la série. Q₃ = 27 : au moins 75 % des valeurs sont inférieures ou égales à 27. Les valeurs comprises entre 13 et 27 représentent donc plus de 75 % - 25 % = 50 % de la série : l'élève a raison.
6. Étape 6 : L'erreur classique : Comparer les deux classes par leur seule moyenne et conclure que « les élèves de la classe B habitent plus loin ». Or la moitié des élèves de chaque classe mettent au plus 20 minutes, et la moitié centrale des trajets de la classe B est même plus resserrée : l'écart de 3 minutes vient de quelques trajets très longs. Second piège : juger la dispersion sur l'étendue seule. Elle désigne la classe B comme la plus dispersée (50 contre 38 min), à cause des quelques trajets les plus longs, jusqu'à 55 min. À retenir : Pour comparer deux séries, choisis un couple cohérent : (médiane ; écart interquartile), peu sensible aux valeurs extrêmes, ou (moyenne ; écart type), qui tient compte de toutes les valeurs. Quand les deux couples ne disent pas la même chose, cherche les valeurs extrêmes.