Compléter un tableau croisé à partir de pourcentages

Énoncé

Un lycée compte 800 élèves (données fictives). 45 % des élèves sont des garçons. 30 % des garçons et 40 % des filles sont inscrits à l'association sportive (AS). a) Recopier et compléter le tableau croisé d'effectifs suivant, sans calculatrice. | | Inscrit à l'AS | Non inscrit | Total | |---|:-:|:-:|:-:| | Garçons | … | … | … | | Filles | … | … | … | | Total | … | … | 800 | b) Quelle est la fréquence marginale des élèves inscrits à l'AS ? c) Parmi les élèves inscrits à l'AS, quelle est la fréquence des filles ? (Calculatrice autorisée ; arrondir au centième.) d) Le journal du lycée titre : « La majorité des filles du lycée sont inscrites à l'AS. » Un autre titre : « La majorité des inscrits à l'AS sont des filles. » Lequel est exact ?

Indice : Commence par la marge : nombre de garçons et de filles. Chaque pourcentage porte sur le groupe qu'il désigne (« des garçons », « des filles »).

Correction

1. Étape 1 : On remplit le tableau de l'extérieur vers l'intérieur : d'abord la marge des lignes (garçons, filles), puis les cases grâce aux fréquences conditionnelles, puis les totaux des colonnes par addition. Fréquence conditionnelle : « 30 % des garçons sont inscrits » est une fréquence conditionnelle : elle porte sur la ligne « Garçons ». L'effectif de la case vaut donc 0,3 × (nombre de garçons).
2. Étape 2 : a) La marge : 0,45 × 800 = 360 garçons, donc 800 - 360 = 440 filles. Les cases : 0,3 × 360 = 108 garçons inscrits, donc 360 - 108 = 252 non inscrits ; 0,4 × 440 = 176 filles inscrites, donc 440 - 176 = 264 non inscrites. | | Inscrit à l'AS | Non inscrit | Total | |---|:-:|:-:|:-:| | Garçons | 108 | 252 | 360 | | Filles | 176 | 264 | 440 | | Total | 284 | 516 | 800 | Contrôle : 284 + 516 = 800 ✓.

   0,3 × 360 = 108 0,4 × 440 = 176

3. Étape 3 : b) Fréquence marginale : total de la colonne « Inscrit » divisé par l'effectif total, 284/800 = 0,355, soit 35,5 % des élèves. c) On se place parmi les inscrits : le dénominateur est le total de la colonne, 284. 176/284 ≈ 0,62 : environ 62 % des inscrits à l'AS sont des filles.

   284/800 = 0,355 176/284 ≈ 0,62

4. Étape 4 : d) Le premier titre parle des filles : parmi elles, 40 % seulement sont inscrites, ce n'est pas une majorité. Il est faux. Le second parle des inscrits : parmi eux, environ 62 % sont des filles, c'est une majorité. Il est exact. Les deux phrases utilisent la même case (176), mais pas le même groupe de référence : le dénominateur est 440 dans la première, 284 dans la seconde.
5. Étape 5 : L'erreur classique : Calculer 40 % de 800 pour les filles inscrites : les 40 % portent sur les 440 filles, pas sur les 800 élèves du lycée. On trouverait 320 filles inscrites au lieu de 176, et tout le reste du tableau serait faux. À retenir : « x % des A » : on multiplie l'effectif de A par x %. Et « x % des A sont B » n'est pas « x % des B sont A ».